Xét dãy số gồm 104 số :  199¹; 199²; 199³; ...; 199¹⁰⁴

Chia các số trong dãy cho 104 . Các số dư có thể là 1;2;3;...;103. (Số dư khác 0 vì các số trong dãy đều lẻ mà 104 là số chẵn )

=> Có ít nhất hai số trong dãy có cùng số dư

Giả sử hai số đó là: 199^m; 199ⁿ (1 <m; n <104 và m > n)

=> 199^m - 199ⁿ chia hết cho 104

=> 199ⁿ.(199^m-n - 1) chia hết cho 104

Mà 199ⁿ không chia hết cho 104 Nên 199^m-n - 1 chia hết cho 104

Đặt k = m - n => 199^k - 1 chia hết cho 104

Vậy ....

bài làm

Xét dãy số gồm 104 số :  199¹; 199²; 199³; ...; 199¹⁰⁴

Chia các số trong dãy cho 104 . Các số dư có thể là 1;2;3;...;103. (Số dư khác 0 vì các số trong dãy đều lẻ mà 104 là số chẵn )

=> Có ít nhất hai số trong dãy có cùng số dư

Giả sử hai số đó là: 199^m; 199ⁿ (1 <m; n <104 và m > n)

=> 199^m - 199ⁿ chia hết cho 104

=> 199ⁿ.(199^m-n - 1) chia hết cho 104

Mà 199ⁿ không chia hết cho 104 Nên 199^m-n - 1 chia hết cho 104

Đặt k = m - n => 199^k - 1 chia hết cho 104

Đáp số:...........

hok tốt

Ta đặt dãy số: 1999^1, 199^2 ,..., 1999^104

Ta lấy tất cả các số trên chia cho 104 sẽ thấy có ít nhất 103 số dư

1,2,3....,103 ( sẽ dư 0 vì 1999 và 104 nguyên tố cùng nhau nên 1999mũ bao nhiêu cũng chia hết cho 104)

Mà dãy số trên có 104 => sẽ có ít nhất 2 số cùng dư 

Gọi 2 số đó là 199^a và 199^b ( a > b)

Vì 1999^ a và 199^b chia hết cho 104 có cùng số dư nên 199^a - 199^b chia hết cho 104

=> 199^bx ( 199^ a-b -1)

mà ước chung lớn nhất ( 199^b,104)=1 nên 199^ a-b-1 chia hết cho 104

Vậy với k= a-b thfi tồn tại 199k -1 chai hết cho 104

Tham khảo bài này :

cách 1: 
xét 3^k. 
chọn k từ 1 đến 999 ta được dãy số 
3; 3² ; 3³;...; 3^999 
999 số trên khi chia cho 1000 sẽ được 999 số dư 
(0,1...999) 
xét 2 trh: 
trh 1: số dư của các số trong dãy đôi một khác nhau 
=> tồn tại một số trong dãy chia 1000 dư 1 
=> 3^a -1 chia hết 1000 
=> đpcm 

trh2: số dư của các số trong dãy không khác nhau đôi một 
=> sẽ có it nhất 2 số đồng dư 
2 số đó là: 3^m và 3ⁿ (1≤m<n≤999) 
=> hiệu của 2 số này chia hết cho 1000 
=> 3ⁿ - 3^m = h.1000 
mà: 3ⁿ - 3^m = 3^m.(3^(n-m) -1) 
lại có: 3^m không chia hết cho 1000 
=> 3^(n-m) - 1 chia hết cho 1000 
mà 1≤m<n≤999 => 0 ≤ n - m ≤ 999 
=> đpcm 
vậy tồn tại số k thuộc N sao cho 3^k-1 chia hết 1000 
.......... ....... 
cách 2: 
xét k= 2n (n chẵn) 
A= 3^(2n) -1 
A= (10-1)^n -1 
khai triển nhị thức ta đc: 
A= 10ⁿ - 1Cn.10^(n-1) + 2Cn.10^(n-2) +...+ (n-2)Cn.10^2 - (n-1)Cn.10 +1 -1 
A= 1000.[10^(n-2) -.....(n-3)Cn] + 100.n.(n+1)\2 - 10n 
lấy n= 100m 
=>B= n.(n+1)\2.100 - 10n 
=>B= 1000.(50.101m -m) 
=> A chia hết 1000 khi k= 200m

Xét dãy số gồm 104 số :  199¹; 199²; 199³; ...; 199¹⁰⁴

Chia các số trong dãy cho 104 . Các số dư có thể là 1;2;3;...;103. (Số dư khác 0 vì các số trong dãy đều lẻ mà 104 là số chẵn )

=> Có ít nhất hai số trong dãy có cùng số dư

Giả sử hai số đó là: 199^m; 199ⁿ (1 <m; n <104 và m > n)

=> 199^m - 199ⁿ chia hết cho 104

=> 199ⁿ.(199^m-n - 1) chia hết cho 104

Mà 199ⁿ không chia hết cho 104 Nên 199^m-n - 1 chia hết cho 104

Đặt k = m - n => 199^k - 1 chia hết cho 104

Vậy ....