Chứng minh BĐT Cô si tổng quát:

Với mọi: a₁;a₂;...;a_n không âm thì: \(a_1+a_2+...+a_n\ge n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\)

Chứng minh bđt cô si với n số \(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\times a_2\times...\times a_n}\)a1; a2;...; an>=0

Cho a₁ , a₂ , ... , a_n > 0 . Với mọi m,n ∈ N* , n ≥ 2 , chứng minh bất đẳng thức :

\(a_1^m+a_2^m+...a_n^m\ge\left(n-1\right)a_1a_2...a_n+\frac{a_1^{m-1}+a_2^{m-1}+...+a_n^{m-1}}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\)

Cho \(a_1,a_2,..,a_n\) là các số nguyên dương và n>1.

Đặt \(A=a_1a_2...a_n,\)  \(A_i=\dfrac{A}{a_i}\left(i=\overline{1,n}\right)\). CM các đẳng thức sau:

a) \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=A\)

b) \(\left[a_1,a_2,..,a_n\right]\left(A_1,A_2,...,A_n\right)=A\)

với \(a_1,a_2,a_3,.....,a_n>0;a_1+a_2+a_3+....+a_n=k\)

Chứng minh\(\left(a_1+\frac{1}{a_2}\right)^2+\left(a_2+\frac{1}{a_3}\right)^2+...+\left(a_n+\frac{1}{a_1}\right)^2\ge\frac{1}{n}\left(\frac{k^2+n^2}{k}\right)^2\)

Cho \(n\left(n\ge3\right)\) số thực dương \(a_1;a_2;...;a_n\) thỏa mãn điều kiện:

  \(\frac{1}{1+a_1^4}+\frac{1}{1+a_2^4}+...+\frac{1}{1+a_n^4}=1\)

Chứng minh rằng:

   \(a_1a_2...a_n\ge\left(n-1\right)^{\frac{n}{4}}\)

Cho \(n\left(n\ge3\right)\) số thực dương \(a_1;a_2;a_3;...a_n\) thỏa mãn điều kiện:

  \(\frac{1}{1+a_1^4}+\frac{1}{1+a_2^4}+\frac{1}{1+a_3^4}+...+\frac{1}{1+a_n^4}=1\)

Chứng minh rằng:

   \(a_1a_2...a_n\ge\left(n-1\right)^{\frac{n}{4}}\)

Cho \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\left(n\ge2\right)\) là các số thực thỏa mãn \(a_1a_2+a_2a_3+...+a_{n-1}a=1\)

Chứng minh rằng : \(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\ge\frac{1}{\cos\frac{\pi}{n+1}}\)