Giả sử O là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị biểu thức \(K=\dfrac{OA^2}{bc}+\dfrac{OB^2}{ca}+\dfrac{OC^2}{ab}\)
cho các số dương a,b,c thỏa mãn :
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)
tính giá trị của biểu thức M =\(\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Lời giải:
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow \frac{abc}{c(a+b)}=\frac{abc}{a(b+c)}=\frac{bca}{b(c+a)}\)
\(\Leftrightarrow c(a+b)=a(b+c)=b(c+a)\)
\(\Leftrightarrow ac+bc=ab+ac=bc+ab\Leftrightarrow ab=bc=ac\)
\(\Rightarrow a=b=c\) (do $a,b,c>0$)
$\Rightarrow M=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c khác 0 thõa mãn \(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\) tính giá trị biểu thức \(M=\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{AB+BC+CA}{2}\) < OA + OB + OC < AB + BC + CA
Ta có: OA + OB + OC = OA + OB + OC = (OA + OB) + OC = AB + OC < AB + BC + CA (vì OC < BC) Vậy ta có: OA + OB + OC < AB + BC + CA (1) Ta cũng có: OA + OB + OC = OA + OB + OC = (OA + OC) + OB = AC + OB < AB + BC + CA (vì OB < AB) Vậy ta có: OA + OB + OC < AB + BC + CA (2) Từ (1) và (2), ta có: OA + OB + OC < AB + BC + CA Tương tự, ta có: OA + OB + OC = OA + OB + OC = (OB + OC) + OA = BC + OA > 0A + OB + OC (vì BC > 0A) Vậy ta có: OA + OB + OC > 0A + OB + OC (3) Ta cũng có: OA + OB + OC = OA + OB + OC = (OA + OB) + OC = AB + OC > 0A + OB + OC (vì AB > 0A) Vậy ta có: OA + OB + OC > 0A + OB + OC (4) Từ (3) và (4), ta có: OA + OB + OC > 0A + OB + OC Vậy ta có: 0A + OB + OC < AB + BC + CA < OA + OB + OC
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
MN giúp e với
\(P=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy Schwarz)
\(=\dfrac{9}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
Ta có: \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\) .Thế vào biểu thức
\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)
\(\Rightarrow P_{min}=30\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I); đường thẳng AI kéo dài cắt (O) tại K. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của BC, CA, AB với (I). Đường thẳng qua A song song với EF cắt DE, DF lần lượt tại P và Q.
a, Chứng minh rằng AE^2=AP.AQ
b, Giả sử g(AIO)<90 độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức AB+AC/BC
ta có biến đổi góc như sau
\(\widehat{BIK}=\frac{1}{2}\widehat{A}+\frac{1}{2}\widehat{B}=\widehat{KAC}+\widehat{IBC}=\widehat{KBC}+\widehat{IBC}=\widehat{IBK}\)
=> tam giác BKI cân tại K nên KB =KI = KC
Hay K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC
a) Do E , F là các tiếp điểm của (I) zới AC , AB nên \(\widehat{EFD\:=}\widehat{CED},\widehat{FED}=\widehat{BFD},EF//PQ\)
=>\(\widehat{EFD}=\widehat{AQF},\widehat{FED}=\widehat{APE}.\) mặt khác \(\widehat{PEA}=\widehat{CED},\widehat{AQF}=\widehat{BFD}\)suy ra tam giác FQA\(_{\simeq}\)tam giác PEA (g.g)
=>\(\frac{QA}{EA}=\frac{AF}{AP}=>AP.AQ=AE.FA=AE^2\)
hay \(\frac{BK\left(AB+AC\right)}{BC}\ge2BK\Leftrightarrow\frac{AB+AC}{BC}\ge2\)khi tam giác ABC đều thì \(\frac{AB+AC}{BC}=2\). Zậy GTNN của\(\frac{AB+AC}{BC}=2\)
b)ÁP dụng dịnh lý Ptolemy cho tứ giác ABKC
ta có \(AK.BC=AB.Ck=Bk\left(AB+AC\right)\)
tam giác AOD cân \(\widehat{AOI}\le90^0\Leftrightarrow IA\ge IK\Leftrightarrow IA+IK\ge2IK\Leftrightarrow AK\ge2IK\)suy ra\(\frac{BK\left(AB+AC\right)}{BC}\ge2IK\)
thầy cô tích cho em di ạ . em cố gắng để giải bài này r
Cho △ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn trên các cạnh AB,BC,CA. Gọi M,N,P lần lượt là các giao điểm của đường tròn tâm O với các tia OA,OB,OC. CMR: Các điểm M,N,P lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp các tam giác ADF, BDE và CEF
Cho O nằm trong tam giác ABC . Chứng minh rằng \(\dfrac{AB+BC+CA}{2}< OA+OB+OC< AB+BC+CA\)
cho ba số thực dương a,b,c tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{abc^2}}=\dfrac{2}{c}\)
Tương tự: \(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{b}\) ; \(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}\)
Cộng vế với vế: \(\Rightarrow\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\right)+\dfrac{1}{2}\left(c^2+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{a^2}}+\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{b^2}{b^2}}+\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{c^2}}=\dfrac{9}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{9}{2}\) khi \(a=b=c=1\)