Kẻ \(OP⊥AB\)

\(OQ⊥BC\)

Xét tứ giác \(PBQO\) có 3 góc vuông nên là hính chữ nhật. (HCN)

HCN \(PBQO\) có BO là đường phân giác của góc B nên là hình vuông.

\(\Rightarrow OP=OQ\) và \(\widehat{POQ}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{POQ}=\widehat{MON}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{POQ}-\widehat{PON}=\widehat{MON}-\widehat{PON}\)

\(\Rightarrow\widehat{NOQ}=\widehat{MOP}\)

Từ đó bạn tự chứng minh \(\Delta NOQ=\Delta MOP\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow S_{NOQ}=S_{MOP}\)

\(\Rightarrow S_{NOQ}+S_{OPBN}=S_{MOP}+S_{OPBN}\)

\(\Rightarrow S_{OMBN}=S_{PBQO}\)

\(S_{PBQO}=\frac{BO.QP}{2}=BO^2=\left(\frac{BD}{2}\right)^2=6^2=36\left(cm^2\right)\)

Vậy ...

1. Lớp 8 chưa học tứ giác nội tiếp nên có thể CM như sau:

Xét tam giác $KAB$ và $KCH$ có:

$\widehat{K}$ chung

$\widehat{KBA}=\widehat{KHC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle KAB\sim \triangle KCH$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{KA}{KC}=\frac{KB}{KH}\Rightarrow KA.KH=KB.KC$ 

Xét tam giác $KAC$ có $AB,CH$ là 2 đường cao giao nhau tại $M$ nên $M$ là trực tâm tam giác $KAC$

$\Rightarrow KM\perp AC$. Mà $AC\perp BD$ nên $KM\parallel BD$.

2.

$OE\parallel DC$ nên theo định lý Talet:

$\frac{OF}{FC}=\frac{OE}{DC}$

Mà $OE=OC$ (như bạn Phan Linh Nhi đã cm) nên $\frac{OF}{FC}=\frac{OC}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (do $ODC$ là tam giác vuông cân tại $O$)

Bạn ấy làm đúng rồi em nhé. Phần 1, 2 em có thể tham khảo cách ngắn gọn hơn ở dưới.

có làm thì mới có ăn

a: Xét ΔDOM và ΔBON có

góc DOM=góc BON

OD=OB

góc ODM=góc OBN

=>ΔDOM=ΔBON

=>DM=BN

mà DM//BN

nên BMDN là hình bình hành

b: Xét ΔEAM vuông tại A và ΔNBE vuông tại B có

EA=NB

AM=BE

Do đó: ΔEAM=ΔNBE

=>EM=EN

=>ΔEMN cân tại E

mà EO là trung tuyến

nen EO vuông góc với MN

a) Ta có thể chứng minh ΔAOP = ΔBOR bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc AOP và góc BOR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc OPA = góc ORB (do OP và OR là hai cạnh của hình vuông OPRQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có ΔAOP = ΔBOR.

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD, nên ta có OP = OR = OS = OQ.

c) Ta cũng có thể chứng minh PRSQ là hình vuông bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc PQR và góc PSR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc QPR = góc RPS (do PQ và RS là hai cạnh của hình vuông PRSQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có PRSQ là hình vuông.

Vậy, ΔAOP = ΔBOR, OP = OR = OS = OQ và PRSQ là hình vuông.

để mai mình tìm cách làm cho bạn dễ hiểu hơn

a) Vì tam giác AOB và tam giác BAQ có các góc tương đương và cạnh nhau nên chúng có cùng một hình dạng (đồng dạng). Từ đó suy ra, độ dài hai cạnh OA và OB cũng bằng nhau. b) Vì hình vuông PRSQ, các đường chéo PR, PS và RS đều chia thành các góc 90 độ. Do đó, độ dài MO bằng độ dài AS và cũng bằng độ dài BR. Ngoài ra, từ tam giác MOAS và tam giác MOBR, ta có thể thấy rằng độ dài OP bằng OR và cũng bằng OS. c) Do góc RPQ bằng góc RPS và cạnh PR bằng cạnh PS, ta suy ra hình vuông PRSQ.