a, x² + 10x + 27

Đặt A = x² + 2. x. 5 + 5² + 2

= ( x + 5 )² + 2

Vì ( x + 5 )² \(\ge\)0 với mọi x

=> ( x + 5 )² + 2 \(\ge\)2 với mọi x

Hay A \(\ge\)2

Dấu " = " xảy ra khi:

( x + 5 )² = 0

x + 5 = 0

x = - 5

Vậy Min A = 2 khi x = - 5

b, x² + x + 7

Đặt B = x2 + x + 7

\(=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{27}{4}\)

\(=\left[x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]+\frac{27}{4}\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với mọi x

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{27}{4}\ge\frac{27}{4}\)với mọi x

Hay B \(\ge\frac{27}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi:

\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(x+\frac{1}{2}=0\)

\(x=-\frac{1}{2}\)

Vậy Min B = \(\frac{27}{4}\)khi x = \(-\frac{1}{2}\)

a) x² + 10 x + 27 =( x² + 2. 5 . x + 5² ) + 2 = ( x + 5 ) ² + 2 

Vì ( x + 5 ) ² \(\ge\) 0 với mọi x nên ( x + 5 ) ² + 2 \(\ge\) 2 với mọi x

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)x + 5 = 0 \(\Leftrightarrow\) x = -5

b) x² + x + 7 = 0 \(\Leftrightarrow\) x² + 2. x . \(\frac{1}{2}\)+  \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) + \(\frac{27}{4}\) = 0 \(\Leftrightarrow\)( x + 1/2) ² + 27/4  = 0

Vì  ( x + 1/2 )² \(\ge\) 0 với mọi x nên ( x + 1/2) ² + 27/4 \(\ge\)27/4 với mọi x

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)x+ 1/2 = 0 \(\Leftrightarrow\) x = ---\(\frac{1}{2}\) 

c + d ) Tương tự a, b

e) x² + 14 x + y² - 2y +7 = 0 \(\Leftrightarrow\) ( x² + 2. x. 7 + 7² ) + ( y² -- 2y + 1 ) -43 = 0 \(\Leftrightarrow\) ( x + 7 ) ² + ( y -- 1 ) ²  --43 = 0 ( 1 ) 

Vì ( x + 7 )² \(\ge\)  0 và ( y -- 1 )² \(\ge\) 0 với mọi x, y nên  ( 1 ) \(\ge\) --43 với mọi x, y

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x+7=0\\y-1=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=-7\\y=1\end{cases}}\)

c, x² - 12x + 37

Đặt C = x² - 12x + 37

= x² - 2. x. 6 + 6² + 1

= ( x - 6 )² + 1

Vì ( x - 6 )² \(\ge\)0 với mọi x

=> ( x - 6 )² + 1 \(\ge\)1

Hay C \(\ge\)1

Dấu " = " xảy ra khi:

( x - 6 )² = 0

x - 6 = 0

x = 6

Vậy Min C = 1 khi x = 6

d, Tương tự như phần c :v

e, x² + 14x + y² - 2y + 7

Đặt E = x² + 14x + y² - 2y + 7

= x² + 14x + y² - 2y + 49 + 1 - 43

= ( x² + 14x + 49 ) + ( y² - 2y + 1 ) - 43

= ( x² + 2. x. 7 + 7² ) + ( y² - 2. y. 1 + 1² ) - 43

= ( x + 7 )² + ( y - 1 )² - 43

Với mọi giá trị của x và y. Ta có:

( x + 7 )² \(\ge\)0

( y - 1 )² \(\ge\)0

=> ( x + 7 )² + ( y - 1 )² \(\ge\)0

=>  ( x + 7 )² + ( y - 1 )² - 43  \(\ge\)- 43

Hay E \(\ge\)- 43

Dấu " = " xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}\left(x+7\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+7=0\\y-1=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=-7\\y=1\end{cases}}}\)

Vậy Min E = - 43 khi x = -7; y = 1

f, x² + 4xy + 2y² - 22y + 173 

Hình như đề sai :))

\(A=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12x^2-24x+3y^2+18y+2047\)

   \(=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12\left(x^2-2x\right)+3y\left(y+6\right)+2047\)

   \(=y\left(y+6\right)\left(x^2-2x\right)+12\left(x^2-2x+3\right)+3y\left(y+6\right)+2011\)

   \(=y\left(y+6\right)\left(x^2-2x+3\right)+12\left(x^2-2x+3\right)+2011\)

   \(=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6y+12\right)+2011\)

   \(=\left[\left(x-1\right)^2+2\right].\left[\left(y+3\right)^2+3\right]+2011\ge2.3+2011=2017\)

Dấu "=" xảy ra khi: 

\(\hept{\begin{cases}x-1=0\\y+3=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}}}\)

Vậy GTNN của A là 2017 khi \(x=1,y=-3\)

x^2 + 14x + y^2 - 2y + 7

( x^2 + 14 x+ 49 ) + ( y - 2y + 1) -43

( x-7)^2 + ( y-1)^2 - 43 

 Vậy Min của biểu thức là : -43 khi \(\hept{\begin{cases}\left(x-7\right)^2\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}=0\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-7=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\y=1\end{cases}}\)

Phần b cũng tương tự như vậy nhé!

phần b sao tương tự được 

xem lại b có sai đề ko nhé

7\(x^2\)+\(3y^2+z^2-14x+2z-18y+35=0\)

\(\Leftrightarrow\left(7x^2-14x+7\right)+\left(3y^2-18y+27\right)+\left(z^2+2z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow7\left(x-1\right)^2+3\left(y-3\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\)

mà \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\);\(\left(y-3\right)^2\ge0\forall y\);\(\left(z+1\right)^2\ge0\forall z\)\(\Rightarrow\)phương trình có nghiệm khi đồng thời x-1=0;

y-3=0;z+1=0hay x=1;y=3;z=-1

\(6x^2+18y^2+12x-12xy+9=0\)

\(\Rightarrow\left(2x^2-12xy+18y^2\right)+\left(4x^2+12x+9\right)=0\)

\(\Rightarrow2\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(2x+3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow2\left(x-3y\right)^2+\left(2x+3\right)^2=0\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-3y\right)^2\ge0\\\left(2x+3\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) với mọi x,y

=> \(2\left(x-3y\right)^2+\left(2x+3\right)^2\ge0\)

Mà \(2\left(x-3y\right)^2+\left(2x+3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x-3y\right)^2=0\\\left(2x+3\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=0\\2x+3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=x\\2x=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{x}{3}\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{1}{2}\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

a: =x^2+10x+25+2=(x+5)^2+2>=2

Dấu = xảy ra khi x=-5

b: =x^2+x+1/4+27/4

=(x+1/2)^2+27/4>=27/4

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

c: =x^2-12x+36+1=(x-6)^2+1>=1

Dấu = xảy ra khi x=6

d: =x^2-3x+9/4+11/4=(x-3/2)^2+11/4>=11/4

Dấu = xảy ra khi x=3/2