Max S_ICD =4cm²

Nhận xét : A, B, C, D có vai trò bình đẳng nhau nên nếu O không thuộc miền trong ∆ICD, chẳng hạn O thuộc miền trong ∆IAD, khi đó dễ dàng thấy S(ICD) < S(IAD). Vậy chỉ xét trường hợp O thuộc miền trong ∆ICD. 
Vẽ OH _|_ AC tại H; Vẽ OK _|_ BK tại K => IK = OH; IH = OK. Đặt IC = a > 0; ID = b > 0; 
Ta có: CH = IC - IH <=> CH² = IC² + IH² - 2IC.IH <=> OC² - OH² = IC² + OK² - 2IC.OK <=> 2IC.OK = IC² - OC² + (OH² + OK²) = IC² - OC² + OI² <=> 2a.OK = a² - 5 + 1 = a² - 4 <=> 2OK = a - 4/a <=> 4OK² = a² + 16/a² - 8 (1) 
Tương tự : 4OH² = b² + 16/b² - 8 (2) 
(1) + (2) : a² + b² + 16(1/a² + 1/b²) - 16 = 4(OH² + OK²) = 4OI² = 4 
<=> a² + b² + 16(1/a² + 1/b²) = 20 
<=> ab + 16/ab ≤ 10 (vì 2ab ≤ a² + b² ; 2/ab ≤ 1/a² + 1/b²) 
<=> S² - 5S + 4 ≤ 0 ( với S = ab/2 = S(ICD)) 
<=> (S - 5/2)² ≤ 9/4 
<=> - 3/2 ≤ S - 5/2 ≤ 3/2 
<=> 1 ≤ S ≤ 4 
Vậy Max S = 4 khi a = b = 2√2; Min S = 1 khi a = b = √2 

S_{ICD max}=4

Nhận xét : A, B, C, D có vai trò bình đẳng nhau nên nếu O không thuộc miền trong ∆ICD, chẳng hạn O thuộc miền trong ∆IAD, khi đó dễ dàng thấy S(ICD) &lt; S(IAD). Vậy chỉ xét trường hợp O thuộc miền trong ∆ICD.&nbsp;<br>Vẽ OH _|_ AC tại H; Vẽ OK _|_ BK tại K =&gt; IK = OH; IH = OK. Đặt IC = a &gt; 0; ID = b &gt; 0;&nbsp;<br>Ta có: CH = IC - IH &lt;=&gt; CH² = IC² + IH² - 2IC.IH &lt;=&gt; OC² - OH² = IC² + OK² - 2IC.OK &lt;=&gt; 2IC.OK = IC² - OC² + (OH² + OK²) = IC² - OC² + OI² &lt;=&gt; 2a.OK = a² - 5 + 1 = a² - 4 &lt;=&gt; 2OK = a - 4/a &lt;=&gt; 4OK² = a² + 16/a² - 8 (1)&nbsp;<br>Tương tự : 4OH² = b² + 16/b² - 8 (2)&nbsp;<br>(1) + (2) : a² + b² + 16(1/a² + 1/b²) - 16 = 4(OH² + OK²) = 4OI² = 4&nbsp;<br>&lt;=&gt; a² + b² + 16(1/a² + 1/b²) = 20&nbsp;<br>&lt;=&gt; ab + 16/ab ≤ 10 (vì 2ab ≤ a² + b² ; 2/ab ≤ 1/a² + 1/b²)&nbsp;<br>&lt;=&gt; S² - 5S + 4 ≤ 0 ( với S = ab/2 = S(ICD))&nbsp;<br>&lt;=&gt; (S - 5/2)² ≤ 9/4&nbsp;<br>&lt;=&gt; - 3/2 ≤ S - 5/2 ≤ 3/2&nbsp;<br>&lt;=&gt; 1 ≤ S ≤ 4&nbsp;<br>Vậy Max S = 4 khi a = b = 2√2; Min S = 1 khi a = b = √2&nbsp;

Đáp án là 4 bạn ak

còn về cách giải thì khá là phức tạp

trên mạng có bài giống thế này đấy 

MaxS=4; Mín=1

Nhận xét : A, B, C, D có vai trò bình đẳng nhau nên nếu O không thuộc miền trong ∆ICD, chẳng hạn O thuộc miền trong ∆IAD, khi đó dễ dàng thấy S(ICD) < S(IAD). Vậy chỉ xét trường hợp O thuộc miền trong ∆ICD. 
Vẽ OH _|_ AC tại H; Vẽ OK _|_ BK tại K => IK = OH; IH = OK. Đặt IC = a > 0; ID = b > 0; 
Ta có: CH = IC - IH <=> CH² = IC² + IH² - 2IC.IH <=> OC² - OH² = IC² + OK² - 2IC.OK <=> 2IC.OK = IC² - OC² + (OH² + OK²) = IC² - OC² + OI² <=> 2a.OK = a² - 5 + 1 = a² - 4 <=> 2OK = a - 4/a <=> 4OK² = a² + 16/a² - 8 (1) 
Tương tự : 4OH² = b² + 16/b² - 8 (2) 
(1) + (2) : a² + b² + 16(1/a² + 1/b²) - 16 = 4(OH² + OK²) = 4OI² = 4 
<=> a² + b² + 16(1/a² + 1/b²) = 20 
<=> ab + 16/ab ≤ 10 (vì 2ab ≤ a² + b² ; 2/ab ≤ 1/a² + 1/b²) 
<=> S² - 5S + 4 ≤ 0 ( với S = ab/2 = S(ICD)) 
<=> (S - 5/2)² ≤ 9/4 
<=> - 3/2 ≤ S - 5/2 ≤ 3/2 
<=> 1 ≤ S ≤ 4 
Vậy Max S = 4 khi a = b = 2√2; Min S = 1 khi a = b = √2 
Nguồn: https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20150404221719AAVrhVe

ID=IC=\(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\)

S max = \(\frac{11+4\sqrt{6}}{2}\)

max của chu vi hay diện tích?

Diện tích tui thiếu

Vì SA không đổi nên ta có V SABCD lớn nhất khi và chỉ khi  S ABCD  lớn nhất. Ta có  S ABCD  = AC.BD/2 trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau. Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r’, nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông.