1) -Ta có: \(\widehat{MBD}=\widehat{ACB}\) (△ABC cân tại A) và \(\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\) (đối đỉnh).

\(\Rightarrow\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\)

-Xét △MDB và △NEC có:

\(\widehat{MBD}=\widehat{NCE}\) (cmt)

\(BD=CE\)

\(\widehat{MDB}=\widehat{NEC}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△MDB=△NEC (g-c-g).

\(\Rightarrow DM=EN\) (2 cạnh tương ứng).

2) -Ta có: DM⊥BC tại D, EN⊥BC tại E nên DM//EN

-Xét △EMN và △DNM có:

\(DM=EN\) (cmt).

\(\widehat{DMN}=\widehat{ENM}\) (DM//EN và so le trong).

MN là cạnh chung.

\(\Rightarrow\)△EMN=△DNM (c-g-c).

\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{DNM}\) (2 góc tương ứng) nên ME//DN.

3) -Có điểm I rồi kẻ thêm điểm I nữa hả bạn?

3) -Mình nói tóm tắt:

-Bạn chứng minh AK⊥BC tại K rồi từ đó chứng minh △OKB=△OKC (c-g-c) suy ra OB=OC.

-Bạn chứng minh △IDM=△INE (g-c-g) từ đó suy ra DI=IN và góc OKB, góc OKC là 2 góc vuông.

-Bạn chứng minh △OIM=△OIN(c-g-c) suy ra OM=ON

-Bạn chứng minh △OBM=△OCN (c-c-c) suy ra góc OBM= góc OCN.

-Bạn chứng minh △OAB=△OAC (c-c-c) suy ra góc OBM=góc OCA.

Suy ra góc OCN=góc OCA mà 2 góc này là 2 góc kề bù nên cùng bằng 90⁰.

-\(S_{AOC}=\dfrac{1}{2}AC.OC\)

\(S_{AOC}=S_{AKC}+S_{OKC}=\dfrac{1}{2}AK.KC+\dfrac{1}{2}OK.KC=\dfrac{1}{2}KC\left(AK+OK\right)=\dfrac{1}{2}KC.OA\)

\(\Rightarrow AC.OC=CK.OA\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC^2}{CK^2}=\dfrac{OA^2}{OC^2}=\dfrac{OA^2-AC^2}{OC^2-CK^2}=\dfrac{OC^2}{OK^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{CK}=\dfrac{OC}{OK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{OC}=\dfrac{CK}{OK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{CK.OC}{OK}=AC\)

\(\Rightarrow\dfrac{OK}{CK.OC}=\dfrac{1}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{OK^2}{CK^2.OC^2}=\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{OC^2-CK^2}{OC^2.CK^2}=\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{CK^2}-\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{1}{AC^2}\)

a,ta có góc MAB=90°; MNB=90°(gt);(góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)

xét tứ giác AMNB có góc MAN+MNB=90°+90°=180°

suy ra AMNB nội tiếp

b, ta có góc CAB=90°(gt); CPB=90°( góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)

xét tứ giác CPAB có góc CAB=CPB=90°

suy ra CPAB nội tiếp ( hai góc bằng nhau cùng chắn cung CB)

suy ra góc BCA=BPA(1)

góc PBA=PCA(2)

mà góc MPN=ACB=1/2sđcung MN(3)

góc PCA=PNM=1/2sđcung PM(4)

từ 1,3 suy ra góc ACB=MPN

từ 2,4 suy ra góc PNM=PBA

xét hai tam giác PAB và PMN có 

góc APB=MPN(cmt)

góc PNM=PBA(cmt)

suy ra hai tam giác đó đồng dạng (đpcm)

c, ta có góc PDN=PCN=1/2sđ cung PN(1)

góc PAC=PBC(CPAB nội tiếp)(2)

mà góc PBC+PCB=90°(3)

từ 1,2,3 suy ra góc DAC+ADE=90°

suy ra DN vuông với AC

xét hai tam giác PCM và ECG có góc C chung

góc CEG=CPM=90°

suy ra hai tam giác đó đồng dạng

suy ra PC/EC=CM/CG

suy ra PC.CG=EC.CM(đpcm)

a) Xét \(\Delta\)NKD và \(\Delta\)MKC: ^NKD = ^MKC (Đối đỉnh); ^DNK = ^CMK (Cùng chắn cung CD)

=> \(\Delta\)NKD ~ \(\Delta\)MKC (g.g) (đpcm).

b) Ta thấy: N là điểm chính giữa của cung AD => \(\Delta\)AND cân tại N => ^NAD = ^NDA

Tứ giác CAND nội tiếp đường tròn (O) => ^NAD = ^NCD; ^NDA = ^NCA.

Mà ^NAD=^NDA (cmt) => ^NCD = ^NCA => CN là phân giác ^ACD.

Tương tự ta chứng minh được: DM là phân giác ^ADC

Do DM giao CN tại K nên K là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)CAD => AK là phân giác ^CAD

Hay AE là phân giác ^CAD => ^CAE = ^DAE.

Xét tứ giác ACED nội tiếp (O) => ^CAE = ^CDE; ^DAE = ^DCE

=> ^CDE = ^DCE => \(\Delta\)DEC cân tại E => EC=ED. Mà CD là dây cung của (O)

=> OE vuông góc CD (đpcm).

c) Ta thấy ^CKM là góc ngoài của \(\Delta\)CKD => ^CKM = ^KCD + ^KDC = 1/2 (^ACD + ^ADC) (1)

Ta có: ^MCK = ^ACM + ^ACK. Mà ^ACM = ^ADM (Cùng chắn cung AM) => ^MCK = ^ADM + ^ACK

=> ^MCK = 1/2(^ADC + ^ACD) (2)

Từ (1) và (2) => ^CKM = ^MCK => \(\Delta\)CMK cân tại M => MC=MK=MA

=> M nằm trên trung trực của AK

Lập luận tương tự: NA=NK => N nằm trên trung trực của AK

=>  MN là đường trung trực của AK . Lại có H thuộc MN

=> ^NKH = ^NAH. Mà ^NAH = ^NMC (=^NAC) nên ^NKH = ^NMC.

Xét \(\Delta\)NHK và \(\Delta\)NCM: ^NKH = ^NMC; ^MNC chung => \(\Delta\)NHK ~ \(\Delta\)NCM (g.g)

\(\Delta\)AHK cân tại H => ^HAK = ^HKA. Do AK là phân giác ^CAD => ^HAK = ^KAD

=> ^HKA = ^KAD. Vì 2 góc này so le trg nên HK // AD (đpcm).

d) Nhận xét: \(\Delta\)AMK có AM=KM (cmt)

=> \(\Delta\)AMK là tam giác đều khi ^AMK=60⁰ hay ^AMD=60⁰

Mà ^AMD = ^ACD (Cùng chắn cung AD) => Để \(\Delta\)AMK đều khi ^ACD=60⁰ 

Vậy 2 điểm C và D di động trên đường tròn (O) sao cho ^ACD=60⁰ thì \(\Delta\)AMK là tam giác đều.