a) Dễ thấy PE là đường trung bình của \(\Delta ABD\)\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}BD\)

Tương tự : \(QE=\frac{1}{2}AC;QF=\frac{1}{2}BD;PF=\frac{1}{2}AC\)

Theo bài toán, BD = AC nên \(PE=EQ=QF=PF\)

Suy ra PEQF là hình thoi

b) Gọi K là trung điểm của BD . Đường thẳng ME cắt NF tại S

Vì PEQF là hình thoi nên \(EF\perp PQ\)( * )

Xét \(\Delta KQP\)và \(\Delta SFE\)có :

\(ME\perp AB\) ; \(PK//AB\)\(\Rightarrow ME\perp PK\)

Tương tự : \(NF\perp QK\)

\(\Rightarrow\Delta KQP\approx\Delta SFE\)( góc có cạnh tương ứng vuông góc )

\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{KP}{KQ}=\frac{AB}{CD}\)( 1 )

Vì \(\Delta MAB\approx\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đồng dạng bằng tỉ số đường cao ) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : \(\frac{SE}{SF}=\frac{ME}{NF}\Rightarrow EF//MN\)( ** )

Từ ( * ) và ( ** ) suy ra : \(PQ\perp MN\)

Gọi E và F là trung điểm của AB và DC tương ứng.

Ta cm 2 vấn đề sau:

1) EF vuông góc với PQ

2) EF // MN

Sơ lược hướng đi là như vậy nha, mai chị sẽ đăng bài cụ thể  nhé

Hình vẽ thì bạn tự dựng nha.

Gọi E,F là trung điểm của AB,CD tương ứng

Lần lượt cm các điều sau:

    Tương tự: 

   Cộng theo vế (1) và (2) suy ra 

gtkl nhe

Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.

M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành

\(\Rightarrow NC//BH\)

Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O ) 

Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)

M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC

Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :

\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng

gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD

Đường thẳng ME cắt NF tại S

Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )

Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)

Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)

\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )

\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)

Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )

Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)

Bài 4:

Gọi G,H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,AC. Giao điểm của MG và NH là I.

Ta thấy \(\Delta\)CDN cân tại N có H là trung điểm cạnh CD => NH vuông góc CD => IH vuông góc CD

Mà EK là đường trung bình trong \(\Delta\)ACD nên IH vuông góc EK (1)

Dễ dàng chứng minh tứ giác EHFG là hình thoi => EF vuông góc GH (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^IHG = ^KEF (Vì 2 góc này cùng phụ với góc hợp bởi EF và IH)

Tương tự ^IGH = ^KFE. Từ đó \(\Delta\)GIH ~ \(\Delta\)FKE (g.g) => \(\frac{IG}{IH}=\frac{KF}{KE}=\frac{AB}{CD}=\frac{BG}{CH}\)

Ta lại có \(\Delta\)MGB ~ \(\Delta\)NHC (g.g)  => \(\frac{BG}{CH}=\frac{MG}{NH}\). Do vậy \(\frac{IG}{IH}=\frac{MG}{NH}\)

Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)MIN ta được GH // MN

Mà EF vuông góc GH (cmt) nên EF vuông góc MN (đpcm).

a) Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB(gt)

Q là trung điểm của AD(gt)

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔCBD có 

N là trung điểm của BC(gt)

P là trung điểm của CD(gt)

Do đó: NP là đường trung bình của ΔCBD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của BC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà AC=BD(gt)

và \(NP=\dfrac{BD}{2}\)(cmt)

nên MN=NP

Xét tứ giác MQPN có

MQ//NP(cmt)

MQ=NP(cmt)

Do đó: MQPN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành MQPN có MN=NP(cmt)

nên MQPN là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Ta có: MQPN là hình thoi(cmt)

nên MP\(\perp\)QN(Hai đường chéo của hình thoi MQPN)

, Tự vẽ hình và ghi giả thiết kết luận (mình không biết vẽ hình trên máy -_-")

Giải : Từ giả thiết ta có 

D là trung điểm của AB và MO

,E là trung điểm của AC và ON

=> ED là đường trung bình của cả hai tam giác ABC và OMN

Áp dụng định lý đường trung bình vào  tam giác trên ,ta được

\(\hept{\begin{cases}AD//BC,DE//MN\\DE=\frac{1}{2}BC,DE=\frac{1}{2}MN\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}MN//BC\\MN=BC\end{cases}}\)

Tứ giác MNCB có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành

Từ từ ,hình như mình làm nhầm đề :) Để mình làm lại đã rồi trả lời bn sau nhé!!!!!@@

Bài 1 : tự viết giả thiết kết luận và vẽ hình

Do N là trung điểm của BC theo giả thiết nên chọn BC làm một đường chéo.Vẽ thêm điểm E sao cho D là trung điểm của ME thì tứ giác BMCE có hai đường chéo chắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

=> \(BM//CE\) và \(BM=CE\)

Ta có : MN \(\perp\) với hai tia phân giác của góc A nên tam giác AMN cân ở A.

Áp dụng tính chất về góc của tam giác cân AMN ,tính chất của hai góc đối đỉnh của ở N và tính chất góc so le của BM // CE ,ta được

\(\hept{\begin{cases}\widehat{M1}=\widehat{N2},\widehat{N1}=\widehat{N2}\\\widehat{M1}=\widehat{E1}\end{cases}}\Rightarrow\widehat{N1}=\widehat{E1}\Rightarrow CE=CN\) 

(Vì trong một tam giác đối diện với hai góc bằng nhau là 2 cạnh bằng nhau)

Từ (1) và (2) => BM=CN    (đpcm )