a ) Ta có BM=MD (gt)

=> \(\Delta\)MBD cân tại M

Mặt khác \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\) ( Hai góc nội tiếp chắn cung AB)

Mà \(\widehat{ACB}=60^0\)( tam giác ABC đều)

Suy ra \(\widehat{AMB}=60^0hay\widehat{DMB}=60^0\)

Vậy \(\Delta MBD\) đều

b) Ta có \(\Delta MBD\) đều ( CMT)

Suy ra : \(\widehat{DMB}=\widehat{DBC}+\widehat{CBM}=60^0\)(1)

Lại có : tam giác ABC đều (gt)

Suy ra : \(\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=60^0\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{MBC}\)

Xét hai tam giác ABD và CBM ta có

BC=BA (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{MBC}\left(cmt\right)\)

BD=BM( tam giác MBD đều)

=> \(\Delta ABD=\Delta CBM\left(c.g.c\right)\)

c)\(\Delta ABD=\Delta CBM\left(cmt\right)\)

SUy ra AD=CM

mà AM=AD+DM

SUy ra MA=MC+MD

làm câu b chứ câu a chưa làm được vì đây mới lớp 8

Trên MA lấy I sao cho MI = MB. Tam giác MBI đều, suy ra \(\widehat{IBM}=60^o\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)

\(\Delta ABI=\Delta CBM\left(c-g-c\right)\)nên AI = MC. Từ đó MA = MB + MC.

\(\Rightarrow\)\(MA=MB+MC\left(ĐPCM\right)\)

Suy ra:  ∆ ABD = ∆ CBM (c.g.c)

cho mihf hỏi tam giác gì nội tiếp đường tròn O vậy

mình nghĩ đề cho bổ sung là cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( O ) vì mình đã từng làm rồi

lời giải :

a) vì MD = MB nên \(\Delta MBD\)cân tại M

\(\widehat{BMD}=\widehat{BCA}=60^o\)( cùng chắn cung AB )

\(\Rightarrow\)\(\Delta MBD\)đều

b) Xét \(\Delta MBC\)và \(\Delta BDA\)có :

MB = BD ; BC = AB ; \(\widehat{MBC}=\widehat{DBA}\)( cùng cộng góc DBC bằng 60 độ )

\(\Rightarrow\Delta MBC=\Delta DBA\left(c.g.c\right)\)suy ra MC = AD

c) Mà MB = MD ( câu a )

nên MC + MB = MD + AD = MA

d) Ta có : MA là dây cung của ( O ; R ) \(\Rightarrow MA\le2R\)

\(\Rightarrow MB+MC+MA=2MA\le4R\)( không đổi )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)MA là đường kính hay M là điểm chính giữa của cung BC

Ta có: ∆ ABD =  ∆ CBM (cmt)

suy ra: AD = CM

Ta có: DM = BM ( tam giác MBD đều )

mà AM = AD + DM

suy ra: MA = MC + MB

Xét \(\Delta MBD\)cân tại M có : 

\(\widehat{BDM}=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta MBD\)là tam giác đều 

\(\Rightarrow\widehat{BDM}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BDA}=120^0\)

\(\Rightarrow\)Khi M di chuyển trên cung nhỏ BC thì M di chuyển trên cung tròn ( nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chưa điểm M ) nhìn AB một góc bằng \(120^0\)

Xét \(\Delta DBA\)và \(\Delta MBC\)có :
\(BA=BC\)( vì tam giác ABC đều )

\(\widehat{BAD}=\widehat{BCM}\)( cùng chắn cung BM )
\(\widehat{ABD}=\widehat{CBM}\left(=60^0-\widehat{DBC}\right)\)

Suy ra \(\Delta DBA=\Delta MBC\)

\(\Rightarrow MC=DA\)

\(\Rightarrow MA+MB+MC=MA+MD+DA=2MA\)

\(MA+MB+MC\)lớn nhất khi MA lớn nhất 

\(\Rightarrow AM\)là đường kính của \(\left(O\right)\)

\(\Rightarrow M\)là điểm chính giữa của cung BC

Chúc bạn học tốt !!!