Đặt \(p^2+pq+q^2=a^2\) \(\left(a\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(p+q\right)^2-pq=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(p+q\right)^2-a^2=pq\)

\(\Leftrightarrow\left(p+q-a\right)\left(p+q+a\right)=pq\)

Xong chắc xét các TH với p,q là số nguyên tố

\(p^2+3pq+q^2=m^2\left(m\in N^{\text{*}}\right)\)

\(\Leftrightarrow pq+\left(p+q\right)^2=m^2\)

\(\Leftrightarrow pq=\left(m-p-q\right)\left(m+p+q\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=pq\\m-p-q=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2p+2q-pq+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(p-2\right)\left(q-2\right)=5=1.5\)

\(\Leftrightarrow\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)

Thử lại ta được \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=p\\m-p-q=q\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3q+p=0\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=q\\m-p-q=p\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3p+q=0\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn

Vậy \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)

Gợi ý:

Tổng các ước dương của p4p4 là : p4+p3+p2+p+1p4+p3+p2+p+1
Theo đề ra thì: p4+p3+p2+p+1=n2(n∈Np4+p3+p2+p+1=n2(n∈N
Để ý rằng: (2p2+p)2<(2n)2<(2p2+p+2)2→2n=2p2+p+1(2p2+p)2<(2n)2<(2p2+p+2)2→2n=2p2+p+1
Đến đây đơn giản rồi nhé !
___
NLT 

   k nha

bn k đi mk giải cho

p4 là p⁴ nha bn

mk sợ lâu nên viết z

How to solve in the set positive integer the equation n^3 + 2019 n = k^2?

bạn vào thống kê hỏi đáp mình xem link nhé

Bạn ghi ra đi chứ mình tìm nhức mắt lắm

Gải sử \(n^2-4n+9\)là số chính phương , khi đó

\(n^2-4n+9=k^2\)

\(=>n^2-4n+4+5=k^2=>\left(n-2\right)^2+5=k^2\)

=>\(\left(n-2\right)^2-k^2=-5\)

-=>\(\left(n-2-k\right)\left(n-2+k\right)=-5\)

sai sai chỗ nào nhỉ

dạ cái kia là -9 mik viết sai ạ

Em đặt : \(n^2-4n+9=t^2\)( t nguyên ) 

<=> \(\left(n^2-4n+4\right)+5=t^2\)

<=> \(t^2-\left(n-2\right)^2=5\)

<=> \(\left(t-n+2\right)\left(t+n-2\right)=5\)

vì n ; t nguyên => t - n + 2 và t + n - 2 nguyên 

E chia trường hợp ra rồi làm hak