Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Trọng Chiến

Tìm số nguyên tố p,q sao cho \(p^2+3pq+q^2\) là số chính phương 

Hồng Phúc
20 tháng 12 2020 lúc 17:58

\(p^2+3pq+q^2=m^2\left(m\in N^{\text{*}}\right)\)

\(\Leftrightarrow pq+\left(p+q\right)^2=m^2\)

\(\Leftrightarrow pq=\left(m-p-q\right)\left(m+p+q\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=pq\\m-p-q=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2p+2q-pq+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(p-2\right)\left(q-2\right)=5=1.5\)

\(\Leftrightarrow\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)

Thử lại ta được \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=p\\m-p-q=q\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3q+p=0\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}m+p+q=q\\m-p-q=p\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3p+q=0\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại p, q thỏa mãn

Vậy \(\left(p;q\right)\in\left\{\left(3;7\right);\left(7;3\right)\right\}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Vấn Đề Nan Giải
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Trần Việt Khoa
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Hoàng Hải Đăng
Xem chi tiết