cho tam giác có nửa chu vi
\(p=\frac{a+b+c}{2}\) với a;b;c là độ dài ba cạnh
CMR:\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Những câu hỏi liên quan
CMR trong mọi tam giác , ta có
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{36}{35}\left(p^2+\frac{abc}{p}\right)\) với p là nửa chu vi
\(BĐT\Leftrightarrow35\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\left(a+b+c\right)^2+\frac{72abc}{a+b+c}\)
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow35\left(a^2+b^2+c^2\right)9\left(a+b+c\right)^2+8\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Cần chứng minh rằng ; \(8\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{72abc}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}=9abc\left(đpcm\right)\)
Vậy \(8\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{72abc}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow9\left(a+b+c\right)^2+8\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\left(a+b+c\right)^2+\frac{72abc}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow35\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\left(a+b+c\right)^2+\frac{72abc}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
CMR trong mọi tam giác , ta có
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{36}{35}\left(p^2+\frac{abc}{p}\right)\) với p là nửa chu vi
\(BĐT\Leftrightarrow35\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\left(a+b+c\right)^2+\frac{72abc}{a+b+c}\)
Theo hệ quả của BĐT Cauchy :
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow35\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\left(a+b+c\right)^2+8\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Ta cần chứng minh rằng : \(8\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{72abc}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}=9abc\left(đpcm\right)\)
Vậy \(8\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{72abc}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow9\left(a+b+c\right)^2+8\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\left(a+b+c\right)^2+\frac{72abc}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow35\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\left(a+b+c\right)^2+\frac{72abc}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC có BC= a,AC = b, AB=c và p là nửa chu vi thỏa mãn
\(\frac{1}{p}=\frac{1}{p-a}-\frac{1}{p-b}-\frac{1}{p-c}\)
hỏi tam giác ABC là tam giác gì
Tam giác ABC vuông cân tại A. D vừa nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, vừa nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B sao cho AB = AD(D khác c). Hạ CI vuông góc với BD.
a) So sánh chu vi tam giác ADB với chu vi hình tứ giác ABCI
b) Tìm vị trí điểm D sao cho chu vi hình tam giác DBC đạt giá trị Max
Cho a, b, c là ba cạnh tam giác, gọi p là nửa chu vi. CMR:
\(2p\le\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\\\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\\\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\end{cases}}\) :)))
Tam giác ABC vuông cân tại A. D vừa nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, vừa nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B sao cho AB = AD(D khác c). Hạ CI vuông góc với BD.
a) So sánh chu vi tam giác ADB với chu vi hình tứ giác ABCI
b) Tìm vị trí điểm D sao cho chu vi hình tam giác DBC đạt giá trị Max
Cho tam giác có nửa chu vi p=\(\frac{a+b+c}{2}\) với a,b,c là độ dài 3 cạnh
Chứng minh \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\) >= 2.(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))
Cho tam giác ABC có góc A=90 độ(AC>AB). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Kẻ HD sao cho góc AHD=45 độ (D thuộc AC)
a) C/m tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB
b) C/m: \(AC^2=CH.BC\)
c) C/m: \(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{AC}\)
d) Biết chu vi tam giác AHB=15cm; chu vi tam giác AHC=20cm. Tính chu vi tam giác ABC
a, CM: \(\Delta AHB\)đồng dạng voi\(\Delta CAB\)
- Vì \(AH\perp BC\Rightarrow\widehat{AHB=90^o}\)
- Xét \(\Delta AHB\)và \(\Delta CAB\)có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{BAC}\)
\(\widehat{A}\)chung
\(\Rightarrow\Delta AHB\)đồng dạng voi \(\Delta CAB\)(g-g) (đpcm)
b, CM: \(AC^2=CH.BC\)
- Xét \(\Delta AHC\)và \(\Delta BAC\)có:
\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}\left(=90^o\right)\)
\(\widehat{C}\)chung
\(\Rightarrow\Delta AHC\)đòng dạng với\(\Delta BAC\)(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}\)
\(\Leftrightarrow AC^2=CH.BC\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Lời giải
Theo đề bài thì \(p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\)
Tương tự: \(p-b=\frac{c+a-b}{2};p-c=\frac{a+b-c}{2}\)
Ta cần c/m: \(\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}+\frac{2}{a+b-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có: \(VT=\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)+\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)+\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)\)
\(\ge\frac{4}{2c}+\frac{4}{2a}+\frac{4}{2b}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{\left(đpcm\right)}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có:\(p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}=\frac{2}{b+c-a}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{p-b}=\frac{2}{a+c-b}\)
\(\frac{1}{p-c}=\frac{2}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=2\left(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
\(\frac{1}{b+c-a}=\frac{\left(1+1-1\right)^2}{b+c-a}\ge\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\)
Tương tự,ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{đpcm}\)
Đúng 0
Bình luận (0)