+)Xét TH: p=2

=>2p² +1=9 (ko là số ntố, loại)

+)Xét TH:p=3

=>2p²+1=19 (là số ntố, chon)

+)Xét TH: p>3 =>p có 1 trong 2 dạng 3k+1 hoặc 3k+2

   p=3k+1 =>2p²+1=2.(3k+1)²+1=2.(9k²+6k+1)+1=18k²+12k+2+1

                            =3.(6k²+4k+1) chia hết cho 3 , mà 2p²+1 >3 (vì p>3)

         =>2p²+1 là hợp số(loại)

   p=3k+2=>2p²+1=2.(3k+2)²+1=2.(9k²+12k+4)+1

                           =18k²+24k+8+1= 3.(6k²+8k+3) chia hết cho 3 (là hợp số vì 2p²+1>0,loại)

 Vậy p=3 thì 2p²+1 là số ntố

+Xét p=3 => 2p^2+1=19 ( tm)

+Xét p>3 vì p là SNT => P có 1 trong 2 dạng : 3k+1 hoặc 3k+2

+p=3k+1 => \(2p^2+1\)\(=2.\left(3k+1\right)^2+1\)=\(2.\left(9k^2+6k+1\right)+1\\ =18k^2+12k+3\)

=> với p=3k+1 thi 2p^2+1 là Hợp số

tương tự p=3k+2 cũng thế

\(p=3\Rightarrow2p^2+1=19\)

Nhẩm nhẩm một chút là ra đó bạn

Cái này lớp 6 chứ

a) Gọi p là số nguyên tố cần tìm.
Nếu p chia hết cho 3 và p là số nguyên tố nên  p = 3.
Ta có \(2p^2+1=19\).
Vậy p = 3 (thỏa mãn).
Nếu p chia cho 3 dư 1, ta có p = 3k + 1. ( k là một số tự nhiên).
\(2p^2+1=2.\left(3k+1\right)^2+1=2\left(9k^2+6k+1\right)+1=18k^2+12k+3\)\(=3\left(6k^2+4k+1\right)\) chia hết cho 3.
Nếu p chia cho 3 dư 2, ta có p = 3k + 2, (k là một số tự nhiên).
\(2p^2+1=2\left(3k+2\right)^2+1=2\left(9k^2+12k+4\right)+1\)\(=18k^2+24k+9=3\left(6k^2+8k+3\right)\) chia hết cho 3.
vậy p = 3 là giá trị cần tìm.
 

b) Dễ thấy p = 2 không phải là giá trị cần tìm.
vậy p là một số nguyên tố lẻ suy ra p có tận cùng là 1, 3, 5, 7.
nếu p có tận cùng là 1 thì \(p^2\) cũng có tận cùng là 1. Suy ra \(4p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
nếu p có tận cùng là 3 thì \(p^2\) có tận cùng là 9. Suy ra \(6p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
nếu p có tận cùng là 5 thì  p phải bằng 5. Thay vào ta thấy của \(4p^2+1\) và \(6p^2+1\) đều là các số nguyên tố.
nếu p có tận cùng là 7 thì \(p^2\) có tận cùng bằng 9.  Suy ra \(6p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
nếu p có tận cùng là 9 thì \(p^2\) có tận cùng bằng 1.  Suy ra \(4p^2+1\) có tận cùng là 5. (loại)
vậy p = 5 là giá trị cần tìm.

Another way !!!

Ta có

\(4p^2+1=5p^2+\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(4\left(6p^2+1\right)=25p^2+\left(p-2\right)\left(p+2\right)\)

Nếu p chia 5 dư 4 hoặc dư 1 thì \(4p^2+1⋮5\)

\(\Rightarrow4p^2+1\) không là số nguyên tố vì luôn lớn hơn 5

Nếu p chia 5 dư 3 hoặc dư 2 thì \(4\left(6p^2+1\right)⋮5\Rightarrow6p^2+1⋮5\) vì \(\left(4;5\right)=1\)

\(\Rightarrow6p^2+1\) không là số nguyên tố vì luôn lớn hơn 5

Khi đó p chia hết cho 5 mà p là số nguyên tố nên p=5 

Gửi bạn nhé, bài này mình đã làm rồi , chúc bạn học tốt !

p2p2 là số chính phương nên p2p2 chia 7 dư 0,1,2 hoặc 4
- Nếu p2⋮7p2⋮7 thì p⋮7⇒p=7p⋮7⇒p=7 , thay vào thỏa mãn

-Nếu p2p2 chia 7 dư 1 thì 3p2+43p2+4 ⋮7⇒⋮7⇒ trái với đề bài

- Nếu p2p2 chia 7 dư 2 3p2+1⋮7⇒3p2+1⋮7⇒ vô lí

-Nếu p2p2 chia 7 dư 4 2p2−1⋮7⇒2p2−1⋮7⇒ vô lí

Vậy p=7

Xét với p=2 suy ra 3p²+4 = 3.4+4=16 ( 16 là hợp số) nên p=2  (loại)

Với p=3 suy ra 2p ²+3=2.9+3=21 ( 21 là hợp số) nên p = 3 ( loại)

Với p = 5 suy ra 2p²-1=2.25-1=49 ( 49 là hợp số ) nên p = 5 (loại)

Với p = 7 suy ra 2p²-1=2.49-1=97 (là số nguyên tố)

                        2p ²+3= = 2.49 + 3 = 101(là số nguyên tố)

                          3p²+4 =3.49+4=151 (là số nguyên tố)

p = 7( thỏa mãn)

Với p > 7: Xét các trường hợp 

+ p=7k+1 suy ra   3p² +4 = 147k²+42k+7 chia hết cho 7 và 147k²+42k+7  > 7 nên  3p² +4  là hợp số 

+ p=7k+2  (các bạn tự thay vào nhé)

+p=7k+3

+ p=7k + 4

p=7k + 5

+ p = 7k+6

Vậy p=7

2 nhớ tick đó (ko tick ăn đòn >_<)

ồ , violympic hả bạn !

ko, đề bài tập về nhà

minh chi giai dc phan a thoi

Thay p=2 ta co p+2=4(loai)

Thay p=3 ta co p+2=5

                       p+4=7(t/m)

neu p la snt >3 thi p co dang :3k+1or 3k+3(noi chung la k hay n gi cung dc ko nhat thiet phai la k ko viet dong trong ngoac vao nha)

neu p=3k+1thi p+2=3k+1+2=3k+3 chia het cho 3 (loai)

neu p=3k+2 thi p+4=3k+2+4=3k+6 chia het cho 3(loai)

vay p=3 thi p+2;p+4 la snt.

ban oi xong roi the thoi ,to chiu hai phan con lai chang nghi dc gi

p=3