ta có 343=7^3

vì 9n^3 không chia hết cho 7

vì 9n^2 không chia hết cho 7

vì 3n  không chia hết cho 7

vì 16  không chia hết cho 7

=> 9n^3+9n^2+3n-16 không chia hết cho 343

a) Ta lam theo cach quy nap, Dat n=k

\(n^2+11n-10=k^2+11k-10\)khong chia het cho 49

Ta phai chung minh cung dung voi k+1

Ta co: \(\left(k+1\right)^2+11\left(k+1\right)-10=k^2+2k+1+11k+11-10=k^2+13k+2\)

\(=k^2+2\times k\times\frac{13}{2}+\frac{169}{4}-\frac{169}{4}+2=\left(k+\frac{13}{2}\right)^2-40,25\) khong chia het cho 49

=> DPCM

10^n - 9n - 1 chia hết cho 27 (*) 

Sử dụng phương pháp quy nạp. 

- Với n = 1, ta có 10^1 - 9x1 -1 = 0, chia hết cho 27. 

- Giả sử (*) đúng với n = k (thuộc N*), tức là: 
10^k - 9k - 1 chia hết cho 27 

- Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với cả n = k + 1, tức là: 
10^(k+1) - 9(k+1) - 1 chia hết cho 27. 

Thật vậy: 
10^(k+1) - 9(k+1) - 1 = 10 x 10^k - 9k - 10 = 10 x (10^k - 9k -1) + 81k 

10^k - 9k - 1 chia hết cho 27, nên lượng này nhân 10 lên cũng chia hết cho 27. 

81 chia hết cho 27, nên 81k chia hết cho 27. 

Vậy (*) đúng với mọi n thuộc N* (đpcm).

\(\left(5n-1\right)\left(n+3\right)-9n+3=5n^2+15n-n-3-9n+3=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)⋮5\)

Mà n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp => \(n\left(n+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow5n\left(n+1\right)⋮5.2=10\) (đpcm)

\(\left(5n-1\right)\left(n+3\right)-9n+3\)

\(=5n^2+15n-n-3-9n+3\)

\(=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)⋮5\)

Lại có \(n\left(n+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow5n^2+5n⋮\left(2.5\right)=10\)

\(\RightarrowĐPCM\)

- Nếu n chẵn thì \(5n+8\) chẵn do đó \(\left(5n+8\right).\left(9n+17\right)\) chia hết cho 2.

- Nếu n lẻ thì \(9n+17\) lẻ do đó \(\left(5n+8\right).\left(9n+17\right)\) chia hết cho 2.

=> đpcm.

a, Ta có : 9 đồng dư với 1 (mod 4 ) => 9ⁿ đồng dư với 1 ( mod 4)

=> 9ⁿ+1 đồng dư với 2 (mod 4) ko chia hết cho 4 => 9ⁿ+1 ko chia hết cho 100 (vì 100 chia hết cho 4)

b, Gỉa sử n chia hết cho 3

=> n²+n+1 chia 3 dư 1.

Nếu n chia 3 dư 1

=> n² đồng dư với 1 mod 3 => n²+n+1 chia hết cho 3

Nếu n chia 3 dư 2

=> n² chia 3 dư 1 => n²+n+1 chia 3 dư 1.

Suy ra n chia 3 dư 1 để n²+n+1 chia hết cho 5

=> n²+n có tận cùng là 4 hoặc 9 mà hai số liên tiếp nhân nhau ko có tận cùng là 4 hoặc 9

=> n² + n+1 ko chia hết cho 15.

thấy sai thì góp ý nha

 CMR Là chứng minh rằng

Ta có :

10n−9n−1=(10n−1)−9n=99999.....99999−9n10n−9n−1=(10n−1)−9n=99999.....99999−9n(n chữ số 9)

=9(1111.....111−n)=9(1111.....111−n)(n chữ số 1)

Thấy : 1111.....1111111.....111(n chữ số 1) có tổng các chữ số là n

Nên 1111....111−n⋮31111....111−n⋮3

Vì n ⋮3 thì cũng ⋮81 

⇒9(1111....1111−n)⇒9(1111....1111−n)(n chữ số 1) chia hết cho 81

Hay 10n−9n−1⋮2710n−9n−1⋮81(đpcm)

# Chúc bạn học tốt