a)Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho \(n^2+2002\)là số chình phương.

\(\Rightarrow n^2+2002=a^2\left(a\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow a^2-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a^2+an-an-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a\left(a+n\right)-n\left(a+n\right)=2002\)

\(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2002\)

Mà \(2002⋮2\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}\left(1\right)}\)

Ta có : \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=-2n\)

\(\Rightarrow\)\(a-n\)và \(a+n\)có cùng tính chẵn lẻ \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\): \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}}\)

Vì 2 là số nguyên tố \(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)⋮4\)

mà 2002 không chia hết cho 4

\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn

\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai

\(\Rightarrow\)Không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài

Ta có:

          n^2+2002=m^2  (m là stn)

           m^2 - n^2 = 2002

           (m-n).(m+n)=2002

Nếu m, n cùng tính chẵn lẻ thì m-n và m+n cùng chẵn nên m-n và m+n đều chia hết cho 2 

=> (m-n).(m+n) chia hết cho 4

Mà 2002 không chia hết cho 4 => Loại

Nếu m, n ko cùng tính chẵn lẻ thì m-n và m+n đều lẻ => (m-n).(m+n) là số lẻ

Mà 2002 là chẵn => Loại

Vậy ko tồn tại n thỏa mãn đề bài

**** CHO MIH NHÉ

Đặt n^2 + 2002 = a^2

=> 2002 = a^2 - n^2 

=> 2002 = ( a - n )(a + n ) 

Ta có: A = 1! + 2! + 3! +...+ n!

Với n = 1 thì 1! = 1 = 1² là số chính phương

Với n = 2 thì 2! + 1! = 3 không là số chính phương

Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+ 1.2 + 1.2.3 = 9 = 3² là số chính phương

Với n \(\ge\) 4 thì 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5! ; 6! ;... đều tận cùng bằng 0

Do đó 1! + 2! + 3! +...+ n! có tận cùng bằng chữ số 3 nên không là số chính phương.

=> n \(\in\) {1; 3}

    Vậy n \(\in\) {1; 3}

"!" là j thế? mk ko bít!

cờ hó Miu Ti cướp bồ tao!

Ta có:
\(A=n^2\left(n^2+n+1\right)\)
Để A là số chính phương thì \(n^2=n^2+n+1\)(1) hoặc \(n=n\left(n^2+n+1\right)\)(2) hoặc \(1=n^4+n^3+n^2\)(3)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow n=-1\left(tm\right)\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=-1\end{cases}}\)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow n=-1\)
Vậy n=0 hoặc n=-1