cho n là số tự nhiên khác 0 và 2n +1 là số chính phương . chính minh n chia hết cho 12
Cá bạn giải giúp mình nhanh nhé, cảm ơn trước ạ!
Bạn nào giúp mk bài này với: cho số tụ nhiên n biết 2n+1 và 3n+1 là 2 số chính phương. Chứng minh n chia hết cho 40 (Giải nhanh giùm mk nhé, cần gấp lắm ạ).
a=b(mod n) là công thức dùng để chỉ a,b có cùng số dư khi chia cho n, gọi là đồng dư thức
Ta có các tính chất cua đồng dư thức và các tính chất sau:
Cho x là số tự nhiên
Nếu x lẻ thì => x^2 =1 (mod 8)
x^2 =-1(mod 5) hoặc x^2=0(mod 5)
Nếu x chẵn thì x^2=-1(mod 5) hoặc x^2 =1(mod 5) hoặc x^2=0(mod 5)
Vì 2a +1 và 3a+1 là số chính phương nên ta đặt
3a+1=m^2
2a+1 =n^2
=> m^2 -n^2 =a (1)
m^2 + n^2 =5a +2 (2)
3n^2 -2m^2=1(rút a ra từ 2 pt rồi cho = nhau) (3)
Từ (2) ta có (m^2 + n^2 )=2(mod 5)
Kết hợp với tính chất ở trên ta => m^2=1(mod 5); n^2=1(mod 5)
=> m^2-n^2 =0(mod 5) hay a chia hết cho 5
từ pt ban đầu => n lẻ =>n^2=1(mod 8)
=> 3n^2=3(mod 8)
=> 3n^2 -1 = 2(mod 8)
=> (3n^2 -1)/2 =1(mod 8)
Từ (3) => m^2 = (3n^2 -1)/2
do đó m^2 = 1(mod 8)
ma n^2=1(mod 8)
=> m^2 - n^2 =0 (mod 8)
=> a chia hết cho 8
Ta có a chia hết cho 8 và 5 và 5,8 nguyên tố cùng nhau nên a chia hết cho 40.Vậy a là bội của 40
Chứng minh rằng nếu 2n+1 và 3n+1 ( với n là số tự nhiên khác 0 ) đều là số chính phương thì n chia hết cho 40
a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để:
2a + 1 = n^2 (1)
3a +1 = m^2 (2)
từ (1) => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được:
2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1
=> a = 2k(k+1)
vậy a chẵn .
a chẳn => (3a +1) là số lẻ và từ (2) => m lẻ, đặt m = 2p + 1
(1) + (2) được:
5a + 2 = 4k(k+1) + 1 + 4p(p+1) + 1
=> 5a = 4k(k+1) + 4p(p+1)
mà 4k(k+1) và 4p(p+1) đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8
ta cần chứng minh a chia hết cho 5:
chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9
xét các trường hợp:
a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý)
a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý)
(vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7)
a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý)
a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý)
=> a chia hết cho 5
5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40
hay : a là bội số của 40
Cho n+1 và 2n+1 đều là số chính phương. Chứng tỏ rằng n chia hết cho 24.
Các bạn giúp mình với, mình đang gấp, làm nhanh nhé ! Thanks !
Mọi người giúp em 4 bài này với mọi người giải bằng tiếng việt hay là tiếng anh cũng dc ạ (tiếng anh thì tốt ạ)
bài 1:Gọi n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phương . Chứng minh rằng n chia hết cho 24.
bài2:Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2n + 1,3n + 1 đều là bình phương hoàn hảo và 6n + 5 là số nguyên tố.
bài3:tìm các số nguyên a, b, c sao cho a^4 + b^4 = 7c^4 +5.
bài4:Tìm tất cả các số nguyên dương x, y và các số nguyên tố p sao cho x^2 −3xy + p^2y^2 = 12p.
1.
\(2n+1\) luôn lẻ \(\Rightarrow2n+1=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1\Rightarrow n=2a\left(a+1\right)\)
\(\Rightarrow n\) chẵn \(\Rightarrow n+1\) lẻ \(\Rightarrow\) là số chính phương lẻ
\(\Rightarrow n+1=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1\)
\(\Rightarrow n=4b\left(b+1\right)\)
Mà \(b\left(b+1\right)\) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) luôn chẵn
\(\Rightarrow4b\left(b+1\right)⋮8\Rightarrow n⋮8\)
Mặt khác số chính phương chia 3 chỉ có các số dư 0 và 1
Mà \(\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=3n+2\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow n+1\) và \(2n+1\) đều chia 3 dư 1
\(\Rightarrow n⋮3\)
\(\Rightarrow n⋮24\) do 3 và 8 nguyên tố cùng nhau
2.
Lý luận tương tự bài 1, ta được n chẵn
Mặt khác các số chính phương chia 5 chỉ có các số dư 0, 1, 4
Mà: \(\left(2n+1\right)+\left(3n+1\right)=5n+2\) chia 5 dư 2
\(\Rightarrow2n+1\) và \(3n+1\) đều chia 5 dư 1
\(\Rightarrow2n⋮5\Rightarrow n⋮5\) (do 2 và 5 nguyên tố cùng nhau)
\(\Rightarrow n=5k\Rightarrow6n+5=5\left(6k+1\right)\)
- TH1: \(k=0\Rightarrow n=0\Rightarrow6n+5\) là SNT (thỏa mãn)
- TH2: \(k>0\Rightarrow6k+1>0\Rightarrow6n+5\) có 2 ước dương lớn hơn 1 \(\Rightarrow\) không là SNT (loại)
Vậy \(n=0\) là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu
A)cho A=2^1+2^2+2^3+.....+2^60. Chứng minh rằng A chia hết cho 7
B)tìm các số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương.
giúp mình nhé!
a) A = 21 + 22 + 23 + .................. + 260
A = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + ................. + (258 + 259 + 260)
A = 2.(1 + 2 + 4) + 24.(1 + 2 + 4) + ...................... + 258.(1 + 2 + 4)
A = 2.7 + 24 . 7 + ................. + 258.7
A = 7.(2 + 24 + ........ + 258)
. A= (2 +22 + 23) + (24 + 25 + 26) + ... + (258 + 259 + 260).
= 2 x (1 + 2 + 22) + 24 x (1 + 2 + 22) + ... + 258 x (1 + 2 + 22).
= 2 x 7 + 24 x 7 + ... + 258 x 7.
= 7 x ( 2 + 24 + ... + 258).
Vì A = 7 x ( 2 + 24 + ... + 258) nên A chia hết cho 7.
b )
Ta có 10 <= n <= 99 nên 21 <= 2n + 1 <= 199
Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40
b) Chúng t dựa vào bài toán sau:
Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Các số có hai chữ số thỏa mãn là 40, 80.
CMR: C= a= 405n+ 2405+ m2 ko chia hết cho 10 với , m là số tự nhiên và n khác 0
Các bạn giải giúp mình nhé! Cảm ơn!
Câu hỏi của Sao Cũng Được - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bài 1: Tìm n có 2 chữ số, biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương
Bài 2: Tìm số chính phương n có 3 chữ số, biết rằng n chia hết cho 5 và nếu nhân n với 2 thì tổng các chữ số của nó không thay đổi
Bài 3: Tìm số tự nhiên n (n>0) sao cho tổng 1! + 2! + ... + n! là một số chính phương
Bài 4: Tìm các chữ số a và b sao cho: \(\overline{aabb}\)là số chính phương
Bài 5: CMR: Tổng bình phương của 2 số lẻ bất kì không phải là một số chính phương
Bài 6: Một số gồm 4 chữ số, khi đọc ngược lại thì không đổi và chia hết cho 5, Số đó có thể là số chính phương hay không?
Bài 7: Tìm số chính phương có 4 chữ sô chia hết cho 33
CÁC BẠN GIÚP MÌNH NHÉ! THANKS
10 \(\le\)n \(\le\)99 => 21 < 2n + 1 < 199 và 31 < 3n + 1 < 298
Vì 2n + 1 là số lẻ mà 2n + 1 là số chính phương
=> 2n + 1 thuộc { 25 ; 49 ; 81 ; 121 ; 169 } tương ứng số n thuộc { 12; 24; 40; 60; 84 } ( 1 )
Vì 3n + 1 là số chính phương và 31 < 3n + 1 < 298
=> 3n + 1 thuộc { 49 ; 64 ; 100 ; 121 ; 169 ; 196 ; 256 ; 289 } tương ứng n thuộc { 16 ; 21 ; 33 ; 40 ; 56 ; 65 ; 85 ; 96 } ( 2 )
Từ 1 và 2 => n = 40 thì 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phương
chịu thôi
...............................
Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1 và số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.Chứng minh rằng A-B là một số chính phương. Các bạn giải rõ bài giải hộ mình nhé. Cảm ơn các bạn nhiều.
chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên thì n+1 và 2.n+1 đều là các số chính phương thì n là bội của số 24 . Mọi người giải giúp mình với , mình cảm ơn
Lời giải:
Đặt $n+1=a^2$ và $2n+1=b^2$ với $a,b$ là số tự nhiên.
Vì $2n+1$ lẻ nên $b^2$ lẻ. SCP lẻ chia $4$ dư $1$ nên $2n+1$ chia $4$ dư $1$
$\Rightarrow 2n\vdots 4$
$\Rightarrow n\vdots 2$
$\Rightarrow n+1=a^2$ lẻ. Ta biết SCP lẻ chia $8$ dư $1$ nên $n+1=a^2$ chia $8$ dư $1$
$\Rightarrow n\vdots 8(1)$
Mặt khác:
Nếu $n$ chia 3 dư $1$ thì $n+1$ chia $3$ dư $2$ (vô lý vì 1 SCP chia 3 dư 0 hoặc 1)
Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $2n+1$ chia $3$ dư $2$ (cũng vô lý)
Do đó $n$ chia hết cho $3(2)$
Từ $(1);(2)$ mà $(3,8)=1$ nên $n\vdots 24$ (đpcm)
Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên
n+1≡1(mod8)⇒n⋮8n+1≡1(mod8)⇒n⋮8
Lại có
3n+2≡2(mod3)3n+2≡2(mod3)
Suy ra
n+1≡2n+1≡1(mod3)n+1≡2n+1≡1(mod3)
Do đó