Đáp án B

Ta có:

x 3 − 3 x 2 + m x + 2 − m = 0 ⇔ x − 1 x 2 − 2 x + m − 2 = 0 ⇔ x = 1 x 2 − 2 x + m − 2 = 0 2

(2) có 2 nghiệm nếu = 1 − m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≤ 3 .

Khi đó 2 nghiệm là:

  x 1 = 1 + 3 − m ; x 2 = 1 − 3 − m

Ta thấy 3 giá trị 1 + 3 − m ; 1 ; 1 − 3 − m  theo thứ tự luôn lập thành một cấp số cộng.

Vậy  m ≤ 3

Đáp án D

· Điều kiện cần:

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3  lập thành một cấp số cộng

 Khi đó: x 1 + x 3 = 2 x 2 x 1 + x 2 + x 3 = 3 ⇔ 3 x 2 = 3 ⇔ x 2 = 1 .  

 Với x 2 = 1  thay vào phương trình ta được:

    1 − 3 + m + 2 − m = 0 (luôn đúng).

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u1,u2,u3,u4

Ta có:

Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1

Tổng các lập phương của chúng: 13+43+73+ 103=1408

Đáp án là D

Đáp án là D

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u₁,u₂,u₃,u₄  và công sai là d

Ta có: u₂ = u₁ + d;  u₃= u₁ + 2d; u₄ = u₁ + 3d

Theo giả thiết ta có:
u 1 + ​ u 2 + ​ u 3 + u 4 = 22 u 1 2 + ​  u 2 2 + ​ u 3 2 + ​  u 4 2 = ​​ 166    ⇔ u 1 + ​ u 1 + d + ​ u 1 + 2 d + u 1 + ​ 3 d = 22 u 1 2 + ( ​  u 1 + d ) 2 + ( ​ u 1 + ​ 2 d ) 2 + ​  ( u 1 + ​ 3 d ) 2 = ​​ 166 ⇔ 4 u 1 + ​ 6 d = 22 4 u 1 2 + ​ 12 u 1 d + ​ 14 d 2 = 166 ⇒ 2 u 1 + ​ 3 d = 11 ​​​​             ( 1 ) 2 u 1 2 + ​ 6 u 1 d + ​ 7 d 2 = 83             ( 2 )

Từ (1) suy ra: u 1 =    11 − 3 d 2  thế vào (2) ta được:

2.    11 − 3 d 2 2 + 6. 11 − 3 d 2 . d + ​   7 d 2 = 83 ⇔ d = 3 ⇒ u 1 = 1 d = − 3 ⇒ u 1 = 10

Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1

Tổng các lập phương của chúng: 

1 3 + 4 3 + 7 3 + 10 3 = 1408

Gọi 4 số nguyên là \(a_1< a_2< a_3< a_4\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_2=a_1+d\\a_3=a_1+2d\\a_4=a_1+3d\end{matrix}\right.\) với \(d\in Z^+\)

\(a_4=a_1^2+a_2^2+a_3^2\)

\(\Leftrightarrow a_1+3d=a_1^2+\left(a_1+d\right)^2+\left(a_1+2d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a_1+3d=3a_1^2+6a_1d+5d^2\)

\(\Leftrightarrow3a_1^2+\left(6d-1\right)a_1+5d^2-3d=0\)

\(\Delta=\left(6d-1\right)^2-12\left(5d^2-3d\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-24d^2+24d+1\ge0\Rightarrow\dfrac{6-\sqrt{42}}{12}\le d\le\dfrac{6+\sqrt{42}}{12}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=0\left(ktm\right)\\d=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3a_1^2+5a_1+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a_1=-1\\a_1=-\dfrac{2}{3}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy 4 số đó là -1; 0; 1; 2

Theo hệ thức Viet: \(x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}=3\)

Do 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3=3x_2\)

\(\Rightarrow3x_2=3\Rightarrow x_2=1\)

Thế vào pt ban đầu:

\(\Rightarrow1-3+m+2m-1=0\Rightarrow m=1\)