Bài giải

Ta có :

a : 8 (dư 7) => (a + 1) \(⋮\) 8

a : 31 (dư 28) => (a + 3) \(⋮\) 31

Mà : (a + 1) + 64 \(⋮\) 8; (a + 3) + 62 \(⋮\) 31

=> (a + 65) \(⋮\) 8 ; 31

Ta có : BC(8 ; 31) = 248

Mà : \(n\le999\) nên \(\left(n+65\right)\le999+65=1064\)

Theo đề bài a là số tự nhiên lớn nhất nên ta có 248k \(\le999\) (k lớn nhất) => k = 4

Dựa vào đề bài ta sẽ tìm n bằng biểu thức sau :

\(\dfrac{n+65}{248}=4\Leftrightarrow n+65=4\cdot248\Rightarrow n=992-65\)

Vậy n = 927

vì a:8 dư 7 => a= 8.n+7

vì a:31 dư 28 => a = 31.m + 28

=> 8.n+7 = 31.m+28

8n = 24.m+7.m+21

=> 7.m+21 * 31 => 7.(m+3) * 31 => m+3*31 => m+3 = 31.b => m = 31.b-3 = 31.b+28

=> a = 31.(31.b+28)+28 = 961b+868+28 = 961.b+896

để a là số có 3 c/s => b=0 => a=896

vậy a = 896               ( dấu * là dấu chia hết nha ! )

Theo đề ta có

a = 8q +7 và a = 31p +28

Suy ra :31p +28 = 8q +7 suy ra 31p+21= 8q suy ra 7p+21 chia hết cho 8 suy ra 32p+16 + 5-p chia hết cho 8 suy ra 5 - p chia hết cho 8 suy ra 5-p = 8k suy ra p = 5 - 8k ( k là số tự nhiên)

để a là số lớn nhất thì p là số lớn nhát suy ra k là số tự nhiên nhỏ nhất suy ra k = 0 suy ra p = 5

Vậy số phải tìm là a = 31x5+28 =183

đáp số : 183