\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}+1\)

Đặt \(\dfrac{1}{u_n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{u_1}=1\\v_{n+1}=v_n+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSC với công sai \(d=1\Rightarrow v_n=v_1+\left(n-1\right).1=n\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{n}\)

\(\Rightarrow u_n+1=\dfrac{n+1}{n}\)

\(\lim\dfrac{2014\left(\dfrac{2}{1}\right)\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{4}{3}\right)...\left(\dfrac{n+1}{n}\right)}{2015n}=\lim\dfrac{2014\left(n+1\right)}{2015n}=\dfrac{2014}{2015}\)

Bạn tham khảo câu trả lời của anh Lâm

https://hoc24.vn/cau-hoi/.334447965337

1) Có \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}u^2_n-2u_n+2=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2\right)^2\) (1)

+) CM \(u_n>2\) (n thuộc N*)

n=1 : u₁= 5/2 > 2 (đúng)

Giả sử n=k, u_k > 2 (k thuộc N*)

Ta cần CM n = k + 1. Thật vậy ta có:

\(u_{k+1}=\dfrac{1}{2}u^2_k-u_k+2=\dfrac{1}{2}\left(u_k-2\right)^2+u_k\) (đúng)

Vậy u_n > 2 (n thuộc N*)        (2)

Từ (1) (2) => u_n+1 - u_n > 0, hay u_n+1 > u_n

=> (u_n) là dãy tăng => \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=+\infty\)

2) \(2u_{n+1}=u^2_n-2u_n+4\)

\(\Leftrightarrow2u_{n+1}-4=u^2_n-2u_n\)

\(\Leftrightarrow2\left(u_{n+1}-2\right)=u_n\left(u_n-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2}{u_n\left(u_n-2\right)}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_n}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)

\(S=\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{u_2}+...+\dfrac{1}{u_n}\)

\(=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_2-2}+\dfrac{1}{u_2-2}+...-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)

\(=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)

\(=2-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)

\(\Leftrightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S=2\)

Dễ dàng nhận thấy \(u_n\) là dãy dương

Ta sẽ chứng minh \(u_n< 2\) ; \(\forall n\)

Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (thỏa mãn)

Giả sử điều đó đúng với \(n=k\) hay \(u_k< 2\)

Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)

Thật vậy, \(u_{k+1}=\sqrt{u_k+2}< \sqrt{2+2}=2\) (đpcm)

Do đó dãy bị chặn trên bởi 2

Lại có: \(u_{n+1}-u_u=\sqrt{u_n+2}-u_n=\dfrac{u_n+2-u_n^2}{\sqrt{u_n+2}+u_n}=\dfrac{\left(u_n+1\right)\left(2-u_n\right)}{\sqrt{u_n+2}+u_n}>0\) (do \(u_n< 2\))

\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng

Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là k>0

Lấy giới hạn 2 vế giả thiết:

\(\lim\left(u_{n+1}\right)=\lim\left(\sqrt{u_n+2}\right)\Leftrightarrow k=\sqrt{k+2}\)

\(\Leftrightarrow k^2-k-2=0\Rightarrow k=2\)

Vậy \(\lim\left(u_n\right)=2\)