Cho hình vuông ABCD cố định. Điểm E chuyển động trên tia đối của tia AD, điểm F chuyển động trên tia đối của tia BA sao cho BF = DE. Các trung điểm M của EF nằm trên đường nào?
Hộ mk bài này với : Cho tam giác ABC ,P nằm trên tia đối của tia BC.Trên tia đối của tia AP lấy D sao cho AD=1/2BC.Gọi E,F là trung điểm của DB và DC.
Chứng minh đường tròn đường kính EF luôn đi qua 1 điểm cố định khi P chuyển động trên tia đối của tia BC
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh BC
Chứng minh được:
C B F ^ + B E M ^ = M D F ^ + D E C ^ = 90 0
=> B M D ^ = 90 0 nên M thuộc đường tròn đường kính BD. Mà E Î BC nên quỹ tích của điểm M là là cung B C ⏜ của đường tròn đường kính BD
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E bất kỳ, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF=CE a. CM: DE=BF b. BD cắt EF tại K, DE cắt BF tại H. CM: FK, DH là các đường cao của tam giác DBF c. Gọi M là trung điểm của EF, O là giao điểm của AC và BD. CM: OM//AK
a/ \(\widehat{DCE}+\widehat{ECF}=180^o\)
=> \(\widehat{ECF}=90^o\)
Xét t/g DEC và t/g BFC có
EC = FC (GT)
\(\widehat{DCE}=\widehat{BCF}=90^o\)
DC = BC (do ABCD là hình vuông)
=> t/g DEC = t/g BFC (c.g.c)
=> DE = BF (2 cạnh t/ứ(
b/ Xét t/g BEH và t/g DEC có
\(\widehat{BEH}=\widehat{DEC}\) (đối đỉnh)
\(\widehat{EBF}=\widehat{EDC}\) (do t/g BFC = t/g DEC)
\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta DEC\) (g.g)
=> \(\widehat{BHE}=\widehat{DCB}=90^o\)
=> \(DE\perp BF\)
Xét t/g BDF có
DE ⊥ BF
BC ⊥ DF
DE cắt BC tại E
=> E là trực tâm t/g BDF
=> .... đpcm
c/ Xét t/g CEF có CE = CF ; M là trung điểm EF
=> CM ⊥ EF
=> \(\widehat{KMC}=90^o\)
Tự cm OKMC làhcn
=> OC = KM => AO = KM
Mà AO // KM (cùng vuông góc vs BD)
=> AOMK là hbh
=> OM // AK
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc tia đối của tia CB, điểm N thuộc tia đối của tia DC sao cho DN=BM. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F. CMR:
a, Tứ giác ANFM là hình vuông
b, Điểm F nằm trên đường phân giác của góc MCN
c, AC vuông góc với CF
d, Ba điểm B,D,O thẳng hàng (O là trung điểm của AF)
e, Khi M di chuyển trên tia Cx thì O di chuyển trên đường nào?
a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ADN có: ^ABM = ^ADN (=900); AB=AD; BM=DN => \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ADN (c.g.c)
=> AM=AN (2 canh tương ứng); ^BAM = ^DAN (2 góc tương ứng). Mà ^BAM + ^DAM = 900
=> ^DAN + ^DAM = ^MAN = 900 => AM vuông góc AN
Ta có: MF//AN; NF//AM; AM vuông góc AN nên ^MAN = ^AMF = ^ANF = 900
Do đó: Tứ giác ANFM là hình chữ nhật. Lại có: AM=AN (cmt) => Tứ giác ANFM là hình vuông (đpcm).
b) Gọi I và J lần lượt là hình chiếu của F trên 2 đường thẳng CD và BC
Tứ giác ANFM là hình vuông => FM=FN
Xét tứ giác CNFM có: ^MCN = ^MFN = 900 => ^FNC + ^CMF = 1800 => ^FNC = ^FMJ hay ^FNI = ^FMJ
Xét \(\Delta\)FIN và \(\Delta\)FJM có: ^FIN = ^FJM (=900); FN=FM; ^FNI = ^FMJ
=> \(\Delta\)FIN = \(\Delta\)FJM (Ch.gn) => FI = FJ (2 cạnh tương ứng)
Xét ^MCN: Có FI và FJ là k/c từ điểm F tới 2 cạnh của góc này; FI=FJ
=> F nằm trên đường phân giác của ^MCN (đpcm).
c) Gọi giao điểm của tia AD và CF là E.
CF là phân giác ^MCN => ^FCN = ^MCN/2 = 450 => ^FCN = ^ACD = 450
=> \(\Delta\)ACE vuông tại C có đường phân giác CD. Mà CD vuông góc AE
=> \(\Delta\)ACE vuông cân tại C = >CD đồng thời là đường trung tuyến => D là trung điểm AE
Suy ra: OD là đường trung bình \(\Delta\)FAE => OD // EF hay OD // CF (1)
Dễ c/m: BD // CF (Do ^DBC + ^BCF = 450 + 1350 = 1800) (2)
Từ (1) và (2) => 3 điểm B;D;O thẳng hàng (đpcm).
d) Ta thấy: B;D;O là 3 điểm thẳng hàng; BD cố định nên O luôn thuộc đường thẳng BD cố định khi M di động trên Cx.
Cho hình vuông abcd .Trên tia đối của ba lấy e trên tia đối của cb lấy f sao cho ae= cf các điểm k,h thứ tự đi chuyển trên ab,ad sao cho bk=ah xác định vị trí h k sao cho hk có độ dài nhỏ nhất
Cho hình vuông ABCD, E là điểm thuộc DC F là điểm nằm trên tia đối của BC sao cho BF =DE
b. Gọi I là trung điểm của EF. Cm I thuộc BD
Cho góc XOY vuông, điểm A cố định trên tia Oy, điểm B chuyển động trên tia Ox.vẽ tam giác đều ABC(C và O nằm khác phía đối vs A, B).Khi điểm B chuyển động trên tia Ox thì điểm C chuyển động trên đường nào
Cho hình vuông ABCD, E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân.
b) Gọi I là trung điểm của EF .Chứng minh I thuộc BD.
c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I.Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.
a, Xét 2 tam giác vuông ΔADE và ΔABF có:
AD = AB (ABCD là hình vuông); DE = BF (gt)
⇒ ΔADE = ΔABF (2 cạnh góc vuông)
⇒ AE = AF (1) và ˆDAEDAE^ = ˆBAFBAF^
mà ˆDAEDAE^ + ˆBAEBAE^ = 90o90o
⇒ ˆBAFBAF^ + ˆBAEBAE^ = 90o90o
⇒ ˆEAFEAF^ = 90o90o (2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔEAF vuông cân (đpcm)
b, ABCD là hình vuông ⇒ BA = BC và DA = DC
⇒ BD là đường trung trực của AC (3)
ΔEAF vuông cân tại A có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ AI = 1212EF
ΔCEF vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ CI = 1212EF
⇒ CI = AI ⇒ I thuộc đường trung trực của AC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: I thuộc BD (đpcm)
d, Tứ giác AEKF có 2 đường chéo AK, EF cắt nhau tại I là trung điểm mỗi đường
⇒ AEKF là hình bình hành
mà AE = AF và ˆEAFEAF^ = 90o90o
⇒ AEKF là hình vuông (đpcm)
Cho hình vuông ABCD, E là điểm trên DC, F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF=DE
a. Chứng mih tam giác AEF vuông cân
b. Gọi I là trung điểm của EF. C/m I thuộc BD.
c. Lấy K đối xứng vs A qua I. C/m tg AEKF là hình vuông.