Lời giải:

Đặt \(A=a^7+3b^7-2c\)

Ta có: \(\frac{5b+2c(4+c^6)}{a+b+c}=1\)

\(\Leftrightarrow 5b+2c(4+c^6)=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow 4b+7c+2c^7=a\)

----------------------------------------

Ta có bổ đề sau: Với mọi số tự nhiên $n$ nào đó thì \(n^7\equiv n\pmod 7\)

Chứng minh :

Thật vậy.

Với \(n\equiv 0\pmod 7\) thì \(n^7\equiv 0\equiv n\pmod 7\)

Với \(n\not\equiv 0\pmod 7\) hay \((n,7)=1\). Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có:

\(n^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow n^7\equiv n\pmod 7\)

Ta có đpcm.

--------------------

Quay trở lại bài toán:

Áp dụng bổ đề trên ta có:

\(A=a^7+3b^7-2c\equiv a+3b-2c^7\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow A\equiv 4b+7c+2c^7+3b-2c^7\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow A\equiv 7b+7c\equiv 0\pmod 7\)

Hay \(A\vdots 7\)

Chứng minh hoàn tất.

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c-b+a2a+b-c}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2\)

\(\left\{\begin{matrix} 2b+c-a=2a\\ 2c-b+a=2b\\ 2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+c=3a\\ 2c+a=3b\\ 2a+b=3c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=3a-2b\\ a=3b-2c\\ b=3c-2a\end{matrix}\right.\Rightarrow (3a-2b)(3b-2c)(3c-2a)=abc\) (1)

Và \(\left\{\begin{matrix} 2b=3a-c\\ 2c=3b-a\\ 2a=3c-b\end{matrix}\right.\Rightarrow (3a-c)(3b-a)(3c-b)=8abc\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(M=\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)

b.\(ĐK:x;y\in Z^+;x;y\ne0\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{x}+\dfrac{5}{y}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{x}=1-\dfrac{5}{y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{x}=\dfrac{y-5}{y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{y-5}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5y}{y-5}\)

\(\Leftrightarrow x=5+\dfrac{25}{y-5}\) ( bạn chia \(5y\) cho \(y-5\) ý )

Để x;y là số nguyên dương thì \(25⋮y-5\) hay \(y-5\in U\left(25\right)=\left\{\pm1;\pm5;\pm25\right\}\)

TH1: 

\(y-5=1\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=6\\x=30\end{matrix}\right.\) ( tm )   ( bạn thế y=6 vào \(x=5+\dfrac{25}{y+5}\) nhé )

Xét tương tự, ta ra được nghiệm nguyên dương của phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=30\\y=6\end{matrix}\right.\)  \(\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=10\end{matrix}\right.\)  \(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=30\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c-a=2a\\2c-b+a=2b\\2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2b=c\\3b-2c=a\\3c-2a=b\end{matrix}\right.\text{ và }\left\{{}\begin{matrix}3a-c=2b\\3b-a=2c\\3c-b=2a\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow P=\dfrac{a\cdot b\cdot c}{2a\cdot2b\cdot3c}=\dfrac{1}{8}\)