\(f\left(1-x\right)+f\left(x\right)=\dfrac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{9}{9+3.9^x}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{3}{9^x+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=1-f\left(1-x\right)\)

\(\Rightarrow f\left(cos^2x\right)=1-f\left(sin^2x\right)\)

Do đó:

\(f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)+f\left(cos^2x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)=f\left(sin^2x\right)\) (1)

Hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{9^x}{9^x+3}\) có \(f'\left(x\right)=\dfrac{3.9^x.ln9}{\left(9^x+3\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow3m+\dfrac{1}{4}sinx=sin^2x\)

Đến đây chắc dễ rồi, biện luận để pt \(sin^2x-\dfrac{1}{4}sinx=3m\) có 8 nghiệm trên khoảng đã cho

Đồ thị hàm số \(y=f\left(\left|x\right|\right)\)

\(f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-1\right)f\left(\left|x\right|\right)-m=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(\left|x\right|\right)=1\left(2\right)\\f\left(\left|x\right|\right)=-m\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\left(2\right)\) có hai nghiệm phân biệt nên phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình \(\left(3\right)\) có hai nghiệm phân biệt khác hai nghiệm của phương trình \(\left(2\right)\).

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-m=-3\\-1< -m< 1\\-m>1\end{matrix}\right.\)

...

a, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(2\left(2m^2-3m-5\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-5\right)\left(m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< \dfrac{5}{2}\)

b, TH1: \(m^2-3m+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

TH2: \(m^2-3m+2\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne2\end{matrix}\right.\)

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(-5\left(m^2-3m+2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m>2\) hoặc \(m< 1\)

c, Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) khi \(m^2-2m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)

Theo định lí Viet: \(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(x_1+x_2< 0\Leftrightarrow2\left(m-1\right)< 0\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy \(0< m< 1\)

1,Giải sử x₀ là nghiệm chung của hai pt

Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_0^2-\left(m+2\right)x_0+3m-1=0\left(1\right)\\x_0^2-\left(2m+3\right)x_0+3m+3=0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left(2m+3\right)x_0-\left(m+2\right)x_0+3m-1-3m-3=0\)

<=> \(x_0\left(m+1\right)-4=0\)

Do hai pt có nghiệm chung => \(x_0\in R\) => \(m\ne-1\)

<=> \(x_0=\frac{4}{m+1}\) thay vào (1) có

\(\frac{16}{\left(m+1\right)^2}-\frac{\left(m+2\right).4}{m+1}+3m-1=0\)

<=> \(\frac{16}{\left(m+1\right)^2}-\frac{4\left(m+2\right)\left(m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}+\frac{3m\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}-\frac{\left(m+1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}=0\)

<=> \(16-4\left(m^2+3m+2\right)+3m\left(m^2+2m+1\right)-\left(m^2+2m+1\right)=0\)

<=> \(16-4m^2-12m-8+3m^3+6m^2+3m-m^2-2m-1=0\)

<=> \(3m^3+m^2-11m+7=0\)

<=> \(3m^3-3m^2+4m^2-4m-7m+7=0\)

<=>\(3m^2\left(m-1\right)+4m\left(m-1\right)-7\left(m-1\right)=0\)

<=> \(\left(m-1\right)\left(3m^2+4m-7\right)=0\)

<=> \(\left(m-1\right)^2\left(3m+7\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\frac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

@Nguyễn Việt Lâm

@Akai Haruma