Lời giải:
Nếu $x\geq 1$ thì $2^x$ chẵn

$\Rightarrow 2^x+5999$ lẻ

$\Rightarrow 4y$ lẻ (vô lý)

Do đó $x<1$. Mà $x$ tự nhiên nên $x=0$

$4y=2^x+5999=2^0+5999=6000$

$\Rightarrow y=1500$ 

Vậy $x=0; y=1500$

$(x-1)^{2019}+(y-1501)^{2020}=(0-1)^{2019}+(1500-1501)^{2020}$

$=(-1)+1=0$

/x/ là giá trị tuyệt đối của x

Giải : Ta có : 2x + 1 là số lẻ

=> 2^|x| + y² + y là số lẻ

Do y² + y = y(y + 1) là 2 số tự nhiên liên tiếp => y² + y là số chẵn

  => 2^|x| là số lẻ <=> 2^|x| = 1 <=> |x| = 0 <=> x = 0

Với x = 0 => 1 + y² + y = 2.0 + 1

=> y² + y + 1 = 1

=> y(y + 1) = 1 - 1 

=> y(y + 1) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}y=0\\y+1=0\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}y=0\\y=-1\end{cases}}\)

Do x; y \(\in\)N <=> x = y = 0

X = 3

 Y = 3

xét vs x=0,1,2 ko tm
vs x=3 =>y=3
ta di c/m đây là no duy nhất.
thật vậy vs x>3

x=3

y=3

Vì x=0 không thỏa mãn nên x>0 khi đó \(3^x+7\)chẵn nên y² chẵn hay y² chia hết cho 4 suy ra \(3^x+7\)chia hết cho 4

Vậy thì \(3^x\equiv1\left(mod4\right)\Leftrightarrow x=2k,k\in N,k\ne0\)

Khi đó ta đi giải \(3^{2k}+7=y^2\Leftrightarrow\left(y-3^k\right)\left(y+3^k\right)=7=1.7=-1.\left(-7\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y-3^k=1,y+3^k=7\\y-3^k=-1,y+3^k=-7\left(L\right)\end{cases}\Leftrightarrow k=1,y=4}\Rightarrow x=2,y=4\)

Vậy (x;y)=(2;4)

Ta có vế phải không âm nên vế trái không âm tức là \(y^2\le25\Leftrightarrow-5\le y\le5\)

Mặt khác thì vế phải chia hết cho 5 nên vế trái chia hết cho 5,suy ra y={-5;0;5}

+)Với y=-5 =>2020(x-2019)²=0=>x=2019

+)Với y=0=> 2020(x-2019)²=25,trường hợp này không tìm được x

+)Với y=-5 thì 2020(x-2019)²=0=>x=2019

Vậy giá trị thỏa mãn của (x;y) là (2019;5);(2019;-5)

sao ko xét th 2,4 VP cũng chia hết cho 2,4 mà

Vì \(2020\times\left(x-2019\right)^2⋮2\) mà \(25\)lẻ \(\Rightarrow\)y\(^2\)lẻ.

\(\Rightarrow\)y lẻ. (1)

Vì \(2020\times\left(x-2019\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\)y\(\le5\)(2). (Vì y\(^2\)luôn\(\ge\)0)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)y\(\in\left\{1;3;5\right\}\)

Nếu y=1:

\(25-y^2=2020\left(x-2019\right)^2\)

\(\Rightarrow25-1^2=24=2020\left(x-2019\right)^2\)

Mà \(x\inℤ\Rightarrow x\in\varnothing\)(loại)

TH2: \(y=3\) .Tương tự \(\Rightarrow\)loại

TH3:\(y=5...\Rightarrow x=2019\)

Vậy \(x=2019,y=5\)

pt tương đương \(\left|y-2020\right|=2^x-y+4039\) (*)

TH1: y\(\ge\)2020

pt (*) trở thành: 2y - 6059 = \(2^x\) (1)

Do 2y chẵn , 6059 lẻ => 2y - 6059 là số lẻ => \(2^x\)lẻ => x=0

Thay x =0 vào (1) tìm được y = 3030 (tm)

TH2: y \(\le\)2020

pt (*) trở thành: 2019= \(-2^x\)

=> Ko có x thỏa mãn

Vậy (x;y) = (0;3030)