các bạn cho mình hỏi là có bất đẳng thức nào kiểu như xy >= z (z là một biểu thức chứa x và y) không ạ ?
Các bạn ơi cho mình hỏi định lí Pythagorean và định lí Thales còn dạng áp dụng nào khác không vậy? Ví dụ như bất đẳng thức Cauchy có 2 dạng là dạng chứa dấu căn và dạng không chứa dấu căn ấy
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left|z\right|=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|1+z\right|+2\left|1-z\right|\) bằng?
Có cách nào chứng minh không cần dùng bất đẳng thức Bunyakovsky không ạ, mình cảm ơn nhiều♥
Có thể đưa về hàm số:
\(AB=2\Rightarrow MB=\sqrt{AB^2-MA^2}=\sqrt{4-MA^2}\)
Đặt \(MA=t\) với \(0\le t\le2\) \(\Rightarrow MB=\sqrt{4-t^2}\)
\(P=MA+2MB=f\left(t\right)=t+2\sqrt{4-t^2}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)\) trên \(\left[0;2\right]\)
\(f'\left(t\right)=1-\dfrac{2t}{\sqrt{4-t^2}}=0\Rightarrow2t=\sqrt{4-t^2}\Rightarrow5t^2=4\Rightarrow t=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
\(f\left(0\right)=4\) ; \(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)_{max}=2\sqrt{5}\Rightarrow P_{max}=2\sqrt{5}\)
Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi x, y, z bất kì thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra x < y − z ; y < z − x ; z < x − y ”
Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:
(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.
(II) Thế thì nâng lên bình phương hai vế các bất đẳng thức, chuyển vế phải sang vế trái, rồi phân tích, ta được:
(x – y + z)(x + y – z) < 0
(y – z + x)(y + z – x) < 0
(z – x + y)(z + x – y) < 0
(III) Sau đó, nhân vế theo vế ta thu được:(x – y + z ) 2 (x + y – z)(-x + y + z) < 0 (vô lí)
Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoan nào?
A. (I)
B. (II)
C. (III)
D. Lý luận đúng
Tìm hằng số \(M\) nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi \(x,y,z\) không âm:
\(1-xy-yz-zx\le M\left(1-min\left\{x,y,z\right\}\right)\)
P/S: Bài này khá dễ, vì bất đẳng thức này lỏng. Không biết có "cao thủ" nào làm chặt được bất đẳng thức này không ha.
Giành cho các bạn thích bất đẳng thức.
Bài 1: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \(4^x+4^y+4^z=1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(S=2^{x+2y}+2^{y+2z}+2^{z+2x}-2^{x+y+z}.\)
Đoán thử xem bài này là đề thi chọn HSG Quốc gia của Tỉnh nào? Năm mấy?
Trẻ con giờ ghê thật chưa gì đã dồn biến, khử lũy thừa rồi, có khi mình tiến hóa ko kịp mất xd
\(S=ab^2+bc^2+ca^2-abc\)
WLOG \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\) khi đó \(S\le a^2b+bc^2+abc-abc=b\left(1-b^2\right)\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2b^2+1-b^2+1-b^2}{3}\right)^3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\)
Sau khi đã có kq \(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)rồi ai có đam mê biến đổi có thể cm bdt sau, làm thành bổ đề về sau dùng \(\left(ab^2+bc^2+ca^2-abc\right)^2\le\frac{4}{27}\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)
WLOG \(a=min\left\{a,b,c\right\},b=a+u,c=a+v\) khi đó bdt cần cm tương đương
\(-\left(v^2-2u^2\right)^2\left(u^2+4v^2\right)-.....\le0\)
ngại viết quá nhưng đại ý là nó sẽ bé hơn hoặc bằng 0 sau đó lấy căn 2 vế ta cũng dc GTLN tương ứng
đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(2^x;2^y;2^z\right)\) (a,b,c>0)
bài toán trở thành: cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn \(a^2+b^2+c^2=1\)
Tìm max \(S=ab^2+bc^2+ca^2-abc\) ez :DDDD
Phùng Minh Quân ez thì làm khúc dưới cho em xem nào:)) (em đoán là dồn biến, cách đặt này giúp khử lũy thừa bậc cao khá hay:))
Cho mình hỏi cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) :
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Nhân tiện cho mình hỏi chứng minh không có giá trị nào của x,y,z thoả mản đẳng thức sau :
\(x^2+4y^2+z^2-2a+8y-6z+15=0\)
BĐT Cosi cho 2 số a,b >0:
a + b >= 2căn(ab)
di từ: ( √a - √b)² ≥ 0 ( voi moi a , b ≥ 0 )
<=> a + b - 2√(ab) ≥ 0
<=> a + b ≥ 2√(ab)
dau "=" xay ra khi √a - √b = 0 <=> a = b
(a+b)/2 >=Cab(C là căn)
a+b>=2*Cab
(a+b)^2>=4*ab
a^2+2ab+b^2-4ab>=0
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0(luôn đúng)
vây ta được điều cm
Đây chính là bất đẳng thức côsi 2 số mà bạn
(a+b)/2 >=Cab(C là căn)
a+b>=2*Cab
(a+b)^2>=4*ab
a^2+2ab+b^2-4ab>=0
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0(luôn đúng)
vây ta được điều cm
Đây chính là bất đẳng thức côsi 2 số mà bạn
Bài làm:
*CM bất đẳng thức Cauchy
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi x,y)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+4xy\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\ge\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
Mình chứng minh theo cách đặt biến x,y nhé!
*Chứng minh không có giá trị nào của x,y,z thỏa mãn đẳng thức: (Đề bạn chép nhầm biến x thành a nhé)
Ta có:
\(x^2+4y^2+z^2-2x+8y-6z+15=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2+8y+1\right)+\left(z^2-6z+9\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+4=0\)\(\left(1\right)\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(2y+1\right)^2\ge0\\\left(z-3\right)^2\ge0\end{cases}}\)với mọi x,y,z
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\)với mọi x,y,z
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+4\ge4>0\)với mọi x,y,z \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn\(\Rightarrow\)Không tồn tại bất kỳ giá trị nào của x,y,z thỏa mãn đẳng thức trên
=> điều phải chứng minh
Học tốt!!!!
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh bất đẳng thức: (1 - x)^3 + (1 - y)^3 + (1 - z)^3 ≤ 3/4
có: \(x\left(2x-3\right)^2\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+9x\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+12x-4\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-1\right)^3\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)^3\le1-\frac{3}{4}x\).
tương tự và cộng lại ta có ngay đpcm.
Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1,5; 1 số bằng 0
Cho x, y, z là các số thực dương sao cho xy + yz + zx = 27. Chứng minh rằng x+y+z ≥ \(\sqrt{3xyz}\),đẳng thức xảy ra khi nào?
Ta có \(27=xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow9\ge\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow729\ge\left(xyz\right)^2\) \(\Leftrightarrow27\ge xyz\) \(\Leftrightarrow27\left(xyz\right)^2\ge\left(xyz\right)^3\) \(\Leftrightarrow\sqrt{3}\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{xyz}\) (lấy căn bậc 6 2 vế) \(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3xyz}\)
Do đó \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge\sqrt{3xyz}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=z=3\)
cho 3 số x, y, z khác không thỏa mãn:1/x+1/y+1/z=0.tính giá trị biểu thức P=yz/x^2+xz/y^2+xy/z^2
bạn nào trả lời dc mình tik cho