## Bài 1:

**a) Chứng minh rằng các tam giác AMQ, ANP vuông cân.**

* **Tam giác AMQ:**
    * Ta có: $\widehat{MAQ} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AM)
    * $\widehat{AMQ} = \widehat{ABM}$ (cùng phụ với $\widehat{AMB}$)
    * Mà $\widehat{ABM} = 45^\circ$ (do ABCD là hình vuông)
    * Nên $\widehat{AMQ} = 45^\circ$
    * Vậy tam giác AMQ vuông cân tại A.

* **Tam giác ANP:**
    * Ta có: $\widehat{NAP} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AM)
    * $\widehat{ANP} = \widehat{ADN}$ (cùng phụ với $\widehat{AND}$)
    * Mà $\widehat{ADN} = 45^\circ$ (do ABCD là hình vuông)
    * Nên $\widehat{ANP} = 45^\circ$
    * Vậy tam giác ANP vuông cân tại A.

**b) Gọi giao điểm của QM và NP là R. Gọi I, K là trung điểm của đoạn thẳng MQ, PN. Chứng minh rằng AIKR là hình chữ nhật**

* **Chứng minh AIKR là hình bình hành:**
    * Ta có: I là trung điểm của MQ, K là trung điểm của PN.
    * Nên IK là đường trung bình của hình thang MNPQ.
    * Do đó IK // MN // PQ.
    * Mà AI // KR (do AI là đường trung bình của tam giác AMQ, KR là đường trung bình của tam giác ANP)
    * Vậy AIKR là hình bình hành.

* **Chứng minh AIKR là hình chữ nhật:**
    * Ta có: $\widehat{IAK} = 90^\circ$ (do AI // KR và $\widehat{IAK}$ là góc vuông)
    * Vậy AIKR là hình chữ nhật.

**c) Chứng minh rằng bốn điểm K,B,I,D thẳng hàng**

* **Chứng minh KB // ID:**
    * Ta có: KB là đường trung bình của tam giác BCP, ID là đường trung bình của tam giác DQN.
    * Nên KB // CP // DQ // ID.
    * Vậy KB // ID.

* **Chứng minh KB = ID:**
    * Ta có: KB = 1/2 CP, ID = 1/2 DQ.
    * Mà CP = DQ (do ABCD là hình vuông)
    * Nên KB = ID.

* **Kết luận:**
    * Do KB // ID và KB = ID nên KBID là hình bình hành.
    * Mà $\widehat{KBI} = 90^\circ$ (do KB // CP và $\widehat{KBI}$ là góc vuông)
    * Vậy KBID là hình chữ nhật.
    * Do đó bốn điểm K,B,I,D thẳng hàng.

## Bài 2:

**a) Chứng minh rằng BF = CE; BF ⊥ CE**

* **Chứng minh BF = CE:**
    * Ta có: ABDE và ACGF là hình vuông.
    * Nên AB = AE, AC = AF.
    * Do đó BF = BC + CF = AB + AC = AE + AF = CE.

* **Chứng minh BF ⊥ CE:**
    * Ta có: $\widehat{ABF} = 90^\circ$ (do ABDE là hình vuông)
    * $\widehat{ACE} = 90^\circ$ (do ACGF là hình vuông)
    * Nên $\widehat{ABF} + \widehat{ACE} = 180^\circ$.
    * Do đó BF ⊥ CE.

**b) Tam giác MO O1 2 là tam giác vuông cân**

* **Chứng minh MO O1 2 là tam giác vuông:**
    * Ta có: O1 là tâm hình vuông ABDE, O2 là tâm hình vuông ACGF.
    * Nên O1O2 là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
    * Do đó MO1 = MO2.
    * Mà $\widehat{MO1O2} = 90^\circ$ (do O1O2 là đường trung trực của BC)
    * Vậy tam giác MO O1 2 là tam giác vuông tại O.

* **Chứng minh MO O1 2 là tam giác cân:**
    * Ta có: MO1 = MO2 (chứng minh trên)
    * Vậy tam giác MO O1 2 là tam giác cân tại M.

* **Kết luận:**
    * Tam giác MO O1 2 là tam giác vuông cân tại O.

Có : góc BAM + góc MAD = 90 độ

Lại có : góc MAD + góc DAQ = 90 độ

=> góc BAM = góc DAQ

=> Tam giác ADQ = tam giác ABM ( cgv - gn )

=> AM=AQ => tam giác AMQ cân tại A

Mà tam giác AMQ vuông tại A => tam giác AMQ vuông cân tại A

Tương tự : cm tam giác PAB = tam giác NAD ( cgv - gn )

=> PA = NA => tam giác ANP cân tại A

Mà tam giác ANP vuông tại A nên tam giác ANP vuông cân tại A

Tk mk nha

Xét tam giác CNP vuông tại C có CE là trung tuyến => CE = NP/2

Tương tự : EA = NP/2

=> CE = EA

=> E thuộc trung trực của AC

Tương tự : cm AF = CF = QM/2

=> F thuộc trung trực AC

Mà tứ giác ABCD là hình vuông nên BD chính là trung trực của AC

=> B;D;E;F thẳng hàng

Tk mk nha

Câu hỏi của Hồ Phong Thư - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của Bảo Châu Trần - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo lời giải tại đây nhé.

Bài 5:
Cho ABC vuông tại A, kẻ phân giác BM ( M AC), trên cạnh BC
lấy điểm E sao cho BE = AB
a) Chứng minh 2 tam giác BAM BEM .
b) Gọi F là giao điểm của đường thẳng ME và đường thẳng AB.
Chứng minh: FM = MC.
c) Chứng minh: AM < MC
d) Chứng minh AE // FC.

a) Ta thấy ngay \(\Delta ABE=\Delta ACD\)  (Hai cạnh góc vuông)

b) Do \(\Delta ABE=\Delta ACD\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)

mà \(\widehat{ABE}=\widehat{MAC}\)  (Cùng phụ với góc BEA)

\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\) hay tam giác MAC cân tại M.

c) Xét tam giác vuông ADC: \(\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\Rightarrow\widehat{MDA}=\widehat{MAD}\Rightarrow MD=MA\)

Vậy thì DM = MA = MC hay M là trung điểm DC.

Xét tam giácAIC có M là trung điểm DC, MK // DI nên MK là đường trung bình tam giác DIC.

Suy ra K là trung điểm IC.

d) Xét tam giác DIC có IM và DK là hai trung tuyến nên G là trọng tâm tam giác.

Gọi N là giao điểm của CG với DE thì DN = NI.

Áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{MF}{DN}=\frac{CF}{CN}=\frac{FK}{NI}\) 

Mà DN = NI nên MF = FK.

a: Xét ΔABE có \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\left(=\widehat{DAE}\right)\)

nên ΔABE cân tại B

hay BA=BE

b: Ta có: ΔBAE cân tại B

mà BF là đường phân giác ứng với cạnh AC

nên BF là đường cao ứng với cạnh AC