a) Học sinh tự làm

b) Ta có: y′ = –4 x 3  – 2x

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x/6 – 1 nên tiếp tuyến có hệ số góc là –6. Vì vậy:

–4 x 3  – 2x = –6

⇔ 2 x 3  + x – 3 = 0

⇔ 2( x 3  – 1) + (x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(2 x 2  + 2x + 3) = 0

⇔ x = 1(2 x 2  + 2x + 3 > 0, ∀x)

Ta có: y(1) = 4

Phương trình phải tìm là: y – 4 = -6(x – 1) ⇔ y = -6x + 10

a) y = 4 x 3  + x, y′ = 12 x 2 + 1 > 0, ∀ x ∈ R

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x0; y0) thì f′(x0) = 12 x 0 2  + 1 = 13 (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x + 1). Từ đó ta có: x0 = 1 hoặc x0 = -1

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là y = 13x + 8 hoặc y = 13x - 8

c) Vì y’ = 12 x 2  + m nên m ≥ 0; y” = –6( m 2  + 5m)x + 12m

    +) Với m ≥ 0 ta có y’ > 0 (khi m = 0; y’ = 0 tại x = 0).

Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi m ≥ 0; y” = –6( m 2  + 5m)x + 12m

    +) Với m < 0 thì y = 0 ⇔ 

Từ đó suy ra:

y’ > 0 với

y’ < 0 với

Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng

và nghịch biến trên khoảng

a) Học sinh tự làm.

b) 

Ta có: y(1) = -3 , y(3) = 7

Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến phải tìm là:

y + 3 = −5(x – 1) ⇔ y = −5x + 2

y – 7 = −5(x – 3) ⇔ y = −5x + 22

a) Học sinh tự giải

b) 

⇔ x 4  − 8 x 2  − 9 = 0

⇔ ( x 2  + 1)( x 2  − 9) = 0

⇔ 

(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3

Ta có: y′ = x 3  − 4x

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3 và x = -3 lần lượt là:

y = y′(3)(x – 3) và y = y′(−3)(x + 3)

Hay y = 15(x – 3) và y = −15(x + 3)

c) 

Từ đó, ta có:

k = −9/4: (C) và (P) có một điểm chung là (0; −9/4)

k > −9/4: (C) và (P) có hai giao điểm.

k < −9/4: (C) và (P) không cắt nhau.

a) Tập xác định: D = R;

y′= 0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞ ; 0), (4; + ∞ ).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y C Đ  = 5. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, y C T  = -3.

Đồ thị đi qua A(-2; -3); B(6;5).

b) x 3  – 6 x 2  + m = 0

⇔  x 3  – 6 x 2  = –m (1)

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị (C)

và đường thẳng 

Suy ra (1) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:

a) y = x 3  − (m + 4) x 2  − 4x + m

⇔ ( x 2  − 1)m + y − x 3  + 4 x 2  + 4x = 0

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ, ta được hai nghiệm:

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

b) y′ = 3 x 2  − 2(m + 4)x – 4

Δ′ = ( m + 4 ) 2  + 12

Vì Δ’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c) Học sinh tự giải.

d) Với m = 0 ta có: y = x 3  – 4 x 2  – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:  x 3  – 4 x 2  – 4x = kx.

Hay phương trình  x 2  – 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là: