1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

Ta có M là điểm chính giữa cung A B ⏜ ⇒ A M ⏜ = B M ⏜ ⇒ M N A ^ = M C B ^  

⇒ K N I ^ = I C K ^ . Tứ giác CNKJ có C và N là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh KJ dưới góc bằng nhau nên CNKJ nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Do đó bốn điểm C, N, K, I  cùng thuộc một đường tròn.

Giúp mình nhanh nhé các bạn!

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Ta có  A B C ^ = A N C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung A C ⏜ )

Mà A M C ^ = A H I ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung I C ⏜ )

⇒ A B C ^ = I K C ^  Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên  H B / / I K  (1)

+ Chứng minh tương tự phần 1 ta có tứ giác AMHI nội tiếp

A N C ^ = I K C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  A I ⏜ )

Ta có  A B C ^ = A M C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  A C ⏜ )

⇒ A B C ^ = A H I ^  Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên  B K / / H I  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành.

Mặt khác AN, CM  lần lượt là các tia phân giác của các góc A và C  trong tam giác ABC nên I là giao điêm 3 đường phân giác, do đó BI là tia phân giác góc B

Vậy tứ giác BHIK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

a, AD là phân giác  B A C ^

=> D là điểm chính giữa  B C ⏜ => OD ⊥ BC

Mà DE là tiếp tuyến => ĐPCM

b,  E C D ^ = 1 2 s đ C D ⏜ = D A C ^ = B A D ^ => Đpcm

c, HC =  P 3 2 =>  H O C ^ = 60 0 =>  B O C ^ = 120 0

=>  l B C ⏜ = π . R . 120 0 180 0 = 2 3 πR

2) Chứng minh  N B 2 = N K . N M .

Ta có N là điểm chính giữa cung  B C ⏜   ⇒ B N ⏜ = C N ⏜   ⇒ B M N ^ = C M N ^   (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Mà  C B N ^ = C M N ^ (góc nội tiếp chắn cùng chắn cung  C N ⏜ )

C B N ^ = B M N ^ (cùng bằng góc  C M N ^ )  ⇒ K B N ^ = B M N ^

Xét  Δ K B N   v à   Δ B M N có:

N ^ chung

K B N ^ = B M N ^

⇒ Δ K B N ∽ Δ B M N ⇒ K N B N = B N M N ⇒ N B 2 = N K . N M

(điều phải chứng minh).