theo định lý hàm số cos  thì : 

\(a^2=b^2+c^2-2bc\)

cos A=\(b^2+c^2-2bc\)

cos 120 mà cos 120⁰=\(-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2+bc\)

Kẻ CE  |  AB.

Ta có \(\Delta ACE\) vuông tại E có góc A = 60^o.

\(\Rightarrow AE=\frac{1}{2}AC=\frac{b}{2}\)

\(CE=AC^2-AE^2=\frac{\sqrt{3}}{2}b\)

Xét \(\Delta EBC\) vuông tại E có :

\(EB=c+\frac{b}{2}\)

\(EC=\frac{\sqrt{3}}{2}b\)

\(\Rightarrow a^2=BC^2=EB^2+EC^2=\left(c+\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b\right)^2=b^2+c^2+bc\)

Vậy ...

- Vẽ CD vuông góc tia AB tại D. 

Ta thấy: \(\widehat{BAC}=120^o\Rightarrow\widehat{CAD}=60^o\left(p.g\right)\)

Tam giác CAD là nửa tam giác đều 

\(\Rightarrow AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB\)

- Tam giác CDB vuông tại D 

\(\Rightarrow BC^2=BD^2+CD^2=BD^2+CD^2...\Rightarrow a^2=\left(AB+AD\right)^2+\left(AC-AD\right)^2\)

\(\Rightarrow AB^2+2AB.BD+AD^2+AC^2-AD^2\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2c.AD=b^2+c^2+bc\left(AD=\frac{1}{2}b\right)\)

Áp dụng định lí hàm cos ta có :

\(AC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos B\)

\(\Rightarrow12^2+6^2-2.12.6.\left(-\frac{1}{2}\right)=252\Rightarrow AC=\sqrt{252}\)

Vì BD là phân giác của góc B nên theo tính chất ta có: 

\(\frac{AD}{BC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow DC=2AD;AC=\sqrt{252}\Rightarrow AD=\frac{1}{3}\sqrt{252}\)

Áp dụng định lý hàm số COS đồi với tam giác ABD có: 

\(AD^2=AB^2+BD^2-2AB.BD.cosB\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{3}\sqrt{252}\right)^2=6^2.BD^2.\cos B\)

\(\Rightarrow BD^2-6BD+8=0\)

\(\Rightarrow BD=4;BD=2\)

Mà theo điều kiện bài => BD = 4 (cm)

Trên đây là bài giải với ĐK: BD là phân giác trong. 
còn nếu BD là phân giác ngoài thì tỉ lệ: \(\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BD=8\left(cm\right)\)

Kẻ CE vuông góc với AB, ta có ngay tam giác ACE vuông có một góc nhọn 60. Suy ra \(AE=\frac{1}{2}AC=\frac{b}{2},CE=\frac{\sqrt{3}}{2}b\). Xét tam giác vuông EBC có '\(EB=c+\frac{b}{2},EC=\frac{\sqrt{3}}{2}b\to a^2=BC^2=BE^2+CE^2=\left(c+\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}b\right)^2=c^2+bc+b^2\)

đáp án 

=c² + bc + b²

hok tót

trả lời 

= c²+ bc + b²

hok tốt

Kẻ đường cao BD ứng với AC. Do góc A tù \(\Rightarrow\) D nằm ngoài đoạn thẳng AC hay \(CD=AD+AC\) và \(\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(AB^2=BD^2+AD^2\) \(\Rightarrow BD^2=AB^2-AD^2\)

Trong tam giác vuông ABD:

\(cos\widehat{BAD}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=cos60^0=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow BD^2=AB^2-\left(\dfrac{1}{2}AB^2\right)=\dfrac{3}{4}AB^2\)

Pitago tam giác BCD:

\(BC^2=BD^2+CD^2=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(AD+AC\right)^2\)

\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AB+AC\right)^2\)

\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\dfrac{1}{4}AB^2+AB.AC+AC^2\)

\(=AB^2+AB.AC+AC^2\)

Hay \(a^2=b^2+c^2+bc\)