Đáp án D.

Ta có : \(a^2+3a=2\)

           \(b^2+3b=2\)

=> \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)+3\left(a-b\right)=0\)

=> \(\left(a-b\right)\left(a+b+3\right)=0\)

=>  a = b ( loại ) hoặc a + b = - 3 ( Thỏa mãn )

Ta có : \(a^2+3a=2\Rightarrow a^3=2a-3a^2\)

           \(b^2+3b=2\Rightarrow b2b-3b^2\)

=> \(a^3+b^3=2a+2b-3\left(2-3a\right)-3\left(2-3b\right)\)

                    \(=11\left(a+b\right)-12=11\left(-3\right)-12=-45\)

a)  Ta có : a^2+3a=b^2+3b \(\Leftrightarrow\)(a^2 - b^2) + 3(a - b) = 0 \(\Leftrightarrow\)(a - b)(a+b+3)=0 \(\Leftrightarrow\)a+b+3=0 (vì a,b phan biet nen a - b \(\ne\)0)

\(\Leftrightarrow\)a+b=-3 (đpcm)

b)  Ta có : a^2 +2ab +b^2 =9 (vì a+b=-3) (1)

Lấy (1) trừ (2) suy ra : 2ab=-4 \(\Leftrightarrow\)-ab=2 (3)

Lấy (2) cộng (3) suy ra : a^2-ab+b^2=15

Do đó : a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(-3)*15=-45(đpcm)

cảm ơn nha

\(\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}\Rightarrow2ab+2< 3a+3b\Rightarrow2ab+2-3a-3b< 0\)

\(\Leftrightarrow a\left(2b-3\right)+2-3b< 0\Rightarrow2a\left(2b-3\right)+4-6b< 0\)

\(\Leftrightarrow2a\left(2b-3\right)-3\left(2b-3\right)< 5\Leftrightarrow\left(2a-3\right)\left(2b-3\right)< 5\)

Giả sử \(a\le b\Rightarrow-1\le2a-3\le2b-3\)(vì a,b nguyên dương)

+)Nếu \(2b-3=1\Rightarrow b=2\Rightarrow P=\frac{65}{16}\left(2\right)\)

+)Nếu \(2b-3=3\Rightarrow b=3\Rightarrow P=\frac{31}{5}\left(3\right)\)

Vậy so sánh \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow P_{Max}=\frac{31}{5}\)

Giải:

Trước hết ta chứng minh \(\forall x,y,z\ge0\) ta có: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)

Do vai trò \(a,b,c\) như nhau nên giả sử \(a=b=c=kd\)

Khi đó áp dụng \(\left(1\right)\) ta có:

\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)

\(d^3+\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}\ge\frac{3dab}{k^2}\)

\(d^3+\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}\ge\frac{3bdc}{k^2}\)

\(d^3+\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}\ge\frac{3dca}{k^2}\)

\(\Rightarrow3d^3+\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3}{k^2}\left(abc+bcd+cda+dab\right)\)

\(\Rightarrow9d^3+3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{9}{k^2}.\)

Vậy ta tìm \(k\) thỏa mãn \(\Rightarrow3\left(\frac{2}{k^3}+\frac{1}{k^2}\right)=4\Rightarrow4k^3-3k-6=0\)

Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^2\) ta có:

\(k=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)=6\)

\(\Leftrightarrow x^6-12x^3+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\\x=\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(6-\sqrt{35}\right)\left(6+\sqrt{35}\right)=1\Rightarrow k=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)\)

Với \(k\) xác định như trên ta tìm được:

\(P_{min}=\frac{9}{k^2}=\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)

bài này mk có cách làm r` mà hơi ngu mà hơi là ko dc làm gì phải dứt khoát chờ mk tìm cách ngu hơn

gghfdfghghhfh78458

có sai đề ko bạn, nếu sai bạn sửa lại đề đi

không sai đề nha bạn ơi

Chuyên KHTN 2014 

bài này thuộc hàng cân = hệ số khủng 

Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể dự đoán dấu bằng xảy ra tại \(a=b=c=dk\) với k dương

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ ba số dương ta được

\(\frac{1}{k^2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{3abc}{k^2}\)(*) ; \(\frac{a^3}{k^3}+\frac{b^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3adb}{k^2}\)(**) ; \(\frac{b^3}{k^3}+\frac{c^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3bcd}{k^2}\)(***) ;\(\frac{c^3}{k^3}+\frac{a^3}{k^3}+d^3\ge\frac{3cda}{k^2}\)(****)

Cộng theo vế 4 bất đẳng thức (*), (**), (***), (****), ta được: \(\left(\frac{1}{k^2}+\frac{2}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+3d^3\ge\frac{3\left(abc+bcd+cda+dab\right)}{k^2}=\frac{3}{k^2}\)

Hay \(\left(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)+9d^3\ge\frac{9}{k^2}\)

Ta cần tìm k để \(\frac{3}{k^2}+\frac{6}{k^3}=4\Leftrightarrow4k^3-3k-6=0\)và ta chọn k là số dương

Đặt \(k=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\)thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu được \(x^6-12x^3+1=0\)

Giải phương trình này ta được \(x=\sqrt[3]{6\pm\sqrt{35}}\), để ý \(\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)=1\)nên ta tính được \(k=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}\)

Do đó ta tính được giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{36}{\left(\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}\right)^2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}{2}d\)