Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AD = a, AC = 2a. cạnh BC vuông góc với AB. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. r = a 5
B. r = a 3 2
C. r = a
D. r = a 5 2
Cho tứ diện A B C D có DA vuông góc với mặt phẳng ( A B C ) và A D = a , A C = 2 a , cạnh BC vuông góc với AB. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A B C D .
Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với (ABC) và AD = a, AC = 2a; cạnh BC vuông góc với cạnh AB. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
A. r = a 5
B. r = a 3 2
C. r = a
D. r = a 5 2
Đáp án D
Phương pháp:
+) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện là điểm cách đều tất cả các đỉnh của tứ diện.
+) Áp dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Cách giải:
Tam giác ABC vuông tại B, M là trung điểm của AC ⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I là trung điểm của CD ⇒ IC = ID(1)
Ta có: IM là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ IM // AD
Mà AD ⊥ (ABC) ⇒ IM ⊥ (ABC)
Do đó, IM là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
⇒ IA = IB = IC(2)
Từ (1), (2) ⇒ IA = IB = IC = ID ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính mặt cầu:
Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C, AB vuông góc với mặt phẳng (BCD), AB=5a, BC=3a và CD=4a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C, AB vuông góc với mặt phẳng (BCD),
AB = 5a, BC = 3a và CD = 4a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại B, AC vuông góc với mặt phẳng (BCD), A C = 5 a , B C = 3 a , B D = 4 a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A. R = 5 a 3 2
B. R = 5 a 2 3
C. R = 5 a 3 3
D. R = 5 a 2 2
Đáp án D
Gọi M là trung điểm của CD đường thẳng qua M song song với AC cắt AD tại trung điểm I của AD. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện
Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại B, AC vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác cân với góc B A C ⏜ = 120 0 , AB=AC=a. Hình chiếu của D trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là V = a 3 16
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ∠ A B C = 60 ° , cạnh bên SA=a và vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD.
A. R = a 5 2
B. R = a
C. R = a 7 12
D. R = a 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A B C ^ = 60 ° , cạnh bên SA=a và vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD
A. R = a 5 2
B. R = a
C. R = a 7 12
D. R = a 2
Ta có A D C ^ = A B C ^ = 60 ° , suy ra tam giác ADC là tam giác đều cạnh a. Gọi N là trung điểm cạnh DC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có A N = a 3 2 ; A G = a 3 3
Trong mặt phẳng (SAN), kẻ đường thẳng Gx//SA, suy ra Gx là trục của tam giác ADC.
Gọi M là trung điểm cạnh SA. Trong mặt phẳng (SAN) kẻ trung trực của SA cắt Gx tại I thì IS=IA=ID=IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD. Bán kính R của mặt cầu bằng độ dài đoạn IA.
Trong tam giác AIG vuông tại G, ta có: