Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O và điểm I (0; 1; 1). Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đường thẳng Δ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S.
A. 36π
B.
36
2
π
C. 18 2 π
D. 18π
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O và điểm I(0;1;1). Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S.
A. 36 2 π
B. 18 π
C. 36 π
D. 18 2 π
Đáp án A
Phương pháp:
Tính khoảng cách từ 1 điểm M đến đường thẳng
là 1 điểm bất kì
Cách giải:
là một VTCP
Như vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O và điểm I (0;1;1). Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đường thẳng Δ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S.
A. 36π
B. 36 2 π
C. 18 2 π
D. 18 π
Vậy quỹ tích M trên (Oxy) là hình Elip với
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O và điểm I(0;1;1). Gọi S là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đường thẳng Δ một khoảng bằng 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi S
A. 36 2 π
B. 18 π
C. 36 π
D. 18 2 π
Đáp án A
Phương pháp:
Tính khoảng cách từ 1 điểm M đến đường thẳng Δ: 
với
u
△
→
là 1 VTCP của Δ và I
∈
Δ là 1 điểm bất kì
Cách giải: Đường thẳng Δ nhận 
là 1 VTCP
Gọi M(a;b;0)
∈
(Oxy) => 
Như vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình 
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x − 2 ln x + 1 , hai trục tọa độ. Diện tích S của hình phẳng (H) là
A. S = 3 − 2 ln 3.
B. S = 12 − 9 ln 3.
C. S = 4 − 9 2 ln 3.
D. S = 9 2 ln 3 − 4.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi ( H 1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 4 ; y = - x 2 4 ; x=4; x = -4
và ( H 2 ) là hình gồm tất cả các điểm (x;y) thỏa mãn x 2 + y 2 ≤ 16 ; x 2 + ( y - 2 ) 2 ≥ 4 ; x 2 + ( y + 2 ) 2 ≥ 4
Cho H 1 và H 2 quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V 1 , V 2 . Đẳng thức nào sau đây đúng?
V 1 bằng thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ bốn lần thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi vật thể giới hạn bởi các đường
Đáp án B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường cong (T) là tập hợp tâm của các mặt cầu (S) đi qua điểm A(1;1;1) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng α : x + y + z − 6 = 0 và β : x + y + z + 6 = 0 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (T) bằng
A. 3 5
B. 9 π
C. 48 π
D. 45 π
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho Parabol P : y = x 2 và hai đường thẳng y = a , y = b 0 < a < b (hình vẽ). Gọi S 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) đường thẳng y = a và đường thẳng y = b (phần gạch chéo) và S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng y = a (phần tô đậm). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì S 1 = S 2
A. b = 4 a 3
B. b = 2 a 3
C. b = 3 a 3
D. b = 6 a 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 4 ; y = - x 2 4 , x = - 4 , x = 4 và hình H 2 là hình gồm các điểm x ; y thỏa x 2 + y 2 ≤ 16 , x 2 + y - 2 2 ≥ 4 . Cho H 1 v à H 2 quay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt là V 1 , V 2 . Đẳng thức nào dưới đây đúng
A. V 1 = V 2
B. V 1 = 1 2 V 2
C. V 1 = 2 V 2
D. V 1 = 2 3 V 2
Chọn đáp án A
Hình phẳng H 1 được biểu diễn bằng miền tô đậm trong hình vẽ bên.
Thể tích khối trụ bán kính r = 4 chiều cao h = 8 là V = πr 2 h = 128 π đvtt
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x 2 4 trục hoành, đường thẳng y = 4 xung quanh trục tung là
Suy ra thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay H 1 quanh trục Oy là:
V 1 = V - 2 V P = 64 π (đvtt).
* Hình phẳng H 2 được biểu diễn bằng miền tô đậm trong hình vẽ bên.
Thể tích khối cầu lớn bán kính R = 4 là V L = 4 3 π . R 3 = 256 π 3 (đvtt)
Thể tích khối cầu nhỏ bán kính r = 2 là V N = 4 3 πr 3 = 32 π 3
Suy ra thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay H 2 quanh trục Oy là
