Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. M là một điểm bất kì bên trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ M đến các mặt của khối tứ diện là
A. Một đại lượng phụ thuộc vị trí của M
B. a 2 3
C. a 2
D. a 3
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của khối tứ diện tương ứng. Giá trị lớn nhất của tích các khoảng cách từ điểm M đến bốn mặt phẳng của tứ diện đã cho là
A. a 4 521
B. a 4 576
C. a 4 6 81
D. a 4 6 324
Chọn đáp án B
Gọi r1, r2, r3, r4 lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC)
Gọi S là diện tích một mặt của tứ diện đều thì
Thể tích tứ diện đều ABCD là V A B C D = a 3 2 12
Ta có V A B C D = V M . B C D + V M . A C D + V M . A B D + V M . A B C
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt phẳng của nó là một số không đổi.
Ta có tứ diện đều ABCD, M là một điểm trong của nó. Gọi V là thể tích, S là diện tích mỗi mặt của tứ diện đều ABCD, h A , h B , h C , h D lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC).
Khi đó ta có:
V = V MBCD + V MCDA + V MDAB + V MABCV
= S( h A + h B + h C + h D )/3
Từ đó suy ra h A + h B + h C + h D = 3V/S
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm trong bất kì một tứ diện đều đến các mặt của nó là một số không đổi ?
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .
A. 7 2 a 3 216
B. 11 2 a 3 216
C. 13 2 a 3 216
D. 2 a 3 18
Tứ diện đều ABCD có khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng bằng a. Cạnh của tứ diện có độ dài bằng
A. a 6 3
B. a 6 2
C. a 2 3
D. a 2 2
Cho tứ diện đều cạnh a, điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ I đến tất cả các mặt của tứ diện.
A. a 6 3
B. a 2
C. a 3 3
D. a 34 3
Đáp án A
Gọi H là hình chiếu của A xuống (ABCD), Ta có:
B H = a 3 3 ⇒ A H = a 2 − a 3 3 2 = a 6 3
Gọi S là diện tích 1 đáy và d là tổng khoảng cách từ I đến tất cả các mặt của tứ diện.
Ta có: V A B C D = 1 3 A H . S = 1 3 d . S ⇔ d = A H = a 6 3 .
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V. Tính V
A. 11 2 a 3 216
B. 7 2 a 3 216
C. 2 a 3 8
D. 13 2 a 3 216
Đáp án A
Nối chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện gồm PQD.NMB và khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích A.
Dễ thấy P,Q lần lượt là trọng tâm của ∆BCE, ∆ABE
Gọi S là diện tích
Họi h là chiều cao của tứ diện ABCD
Khi đó
Suy ra
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V. Tính V.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V. Tính V.
A. 11 2 a 3 216
B. 7 2 a 3 216
C. 2 a 3 18
D. 13 2 a 3 216