Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh: BC = a, AC = b, AB = c, chu vi tam giác là 2P. Chứng minh:
\(\frac{P}{P-a}+\frac{P}{P-b}+\frac{P}{P-c}\ge9\)
Cho △ABC có độ dài 3 cạnh là: BC=a, CA=b, AB=c và chu vi tam giác là 2P. Chứng minh:\(\frac{P}{P-a}+\frac{P}{P-b}+\frac{P}{P-c}\ge9\)
\(VT=p\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{9p}{3p-\left(a+b+c\right)}\)
\(VT\ge\frac{9p}{3p-2p}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay tam giác đều
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a , b , c và chu vi là 2p . Chứng minh :
\(\frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}\ge9\)
Arigatou !
Trước khi giải mình đã chụp lại ảnh bài toán và phát hiện bạn đổi đề. Bạn không được làm như thế, bạn đã khiển các bạn khác tưởng mình sai đề đó huhu
Đặt a = b = c . Từ đề bài:
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}=\frac{1}{p-\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-b}=\frac{1}{p-\left(c+a\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-c}=\frac{1}{p-\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-\left(b+c\right)}+\frac{1}{p-\left(c+a\right)}+\frac{1}{p-\left(a+b\right)}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a^2}+\frac{1}{p-b^2}+\frac{1}{p-c^2}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (vì a = b =c nên (b +c) ta đổi thành a2, các cái còn lại tương tự)
Suy ra \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)
Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c
P/s: Mình không chắc! Sai thì thôi nha! Đừng chọn sai nhé
Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB=c,AC=b,BC=a. Các phân giác AD,BE và CF cắt nhau tại O.
a) Tính độ dài đoạn thằng AE theo a,b,c
b) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông khi \(\frac{OB.OC}{BE.CF}\)= \(\frac{1}{2}\)
a.) từ các tia phân giác suy ra được OE/OB=AE/AB=EC/BC
suy ra AE/c=EC/a
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
AE/c=EC/a=AE+EC/c+a=AC/c+a=b/c+a
suy ra AE=bc/c+a
tương tự ta có AF=bc/a+b
ta có OB/OE=AB/AE=c/AE
suy ra OB/OE+OB=c/AE+c (ko bik bạn học cái này chưa)
OB/BE=c/AE+c(1)
tương tự ta lại có OC/CF=b/AF+b(2)
từ (1) và (2) suy ra OB.OC/BE.CF=bc/(AE+c)(AF+b)=1/2
nhân chéo ta có 2bc=(AE+c)(AF+b)=(bc/(c+a)+c)(bc/(a+b)+b)
2bc=(c(a+b+c)/(a+c))(b(a+b+c)/(a+b))
2bc=bc(a+b+c)^2/(a+c)(a+b)
2=(a+b+c)^2/(a+c)(a+b)
suy ra (a+b+c)^2=2(a+c)(a+b)
tách ra rút gọn còn a^2=b^2+c^2
suy ra tam giác ABC vuông tại A
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.
Chứng minh \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{abc}\ge9\)
\(VT-VP=\frac{\Sigma_{cyc}\left(a-b+c\right)\left(a-b\right)^2}{abc}\ge0\) ( do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác )
cho tam giác ABC có chu vi là 24cm biết 3 cạnh AB,AC,BC lần lượt tỉ lệ với 1,2,1 a) Tính độ dài 3 cạnh của tam giác ABC b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh BM là tia phân giác của góc ABC c)chứng minh BM vuông góc với AC
Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB=c,AC=b,BC=a. Các phân giác AD,BE và CF cắt nhau tại O.
a)Tính độ dài đoạn thẳng AE theo a,b,c
b) chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông khi \(\frac{OB.OC}{BE.CF}\)=\(\frac{1}{2}\)
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a=bc, b=ca, c=ab. Dựng các đường phân giác trong AD, BE, CF. Chứng minh:
1) \(\frac{S_{DFE}}{S_{ABC}}=\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
2) \(S_{DFE}=\frac{S_{ACB}}{4}\)
3) Cho chu vi tam giacsABC là 9 cm. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác DEF
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2.Chứng minh rằng 1+abc<ab+ac+bc
Ta có:
a<b+ca<b+c
--> a+a<a+b+ca+a<a+b+c
--> 2a<22a<2
--> a<1a<1
Tương tự ta có : b<1,c<1b<1,c<1
Suy ra: (1−a)(1−b)(1−c)>0(1−a)(1−b)(1−c)>0
⇔ (1–b–a+ab)(1–c)>0(1–b–a+ab)(1–c)>0
⇔ 1–c–b+bc–a+ac+ab–abc>01–c–b+bc–a+ac+ab–abc>0
⇔ 1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc
Nên abc<−1+ab+bc+caabc<−1+ab+bc+ca
⇔ 2abc<−2+2ab+2bc+2ca2abc<−2+2ab+2bc+2ca
⇔ a2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2ca
⇔ a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2
⇔ a2+b2+c2+2abc<22−2a2+b2+c2+2abc<22−2 , (do a+b=c=2a+b=c=2 )
⇔ dpcm
Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh BC, AC, Ab. Chứng minh rằng: sin \(\frac{A}{2}\)< hoặc = \(\frac{a}{b+c}\)
Do mình chưa học lớp 9, nên không thể giải bài của bạn. Mình có tìm trên mạng và đã tìm được lời giải này cho bạn. Thực mình không hiểu đâu, mong bạn thông cảm.
Nguồn : http://diendantoanhoc.net/topic/81625-sinfraca2leq-fraca2sqrtbc/
Mình sử dụng công thức \(S=\frac{AB.AC.Sin_A}{2}.\).
Vẽ tia phân giác AD của góc A.Đặt \(l=AD\)
\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\)
\(=\frac{cl.Sin_{\frac{A}{2}}}{2}+\frac{bl.Sin_{\frac{A}{2}}}{2}\)
\(=\frac{l.Sin_{\frac{A}{2}}\left(b+c\right)}{2}\)
Mặt khác \(S_{ABC}\le\frac{al}{2}\)
\(\Leftrightarrow Sin_{\frac{A}{2}}\le\frac{a}{b+c}\left(\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\right)\) :)