ta có : 

Gọi M là giao điểm của AE và CF

ADFE là hình bình hành nên ^ADF = ^AEF (hai góc đối)

Suy ra ^BDF = ^FEC 

Xét \(\Delta\)BDF và \(\Delta\)FEC có:

       BD = FE (cùng bằng AD)

       ^BDF = ^FEC (cmt) 

      DF = EC ( cùng bằng AE)

Do đó \(\Delta\)BDF = \(\Delta\)FEC (c.g.c) suy ra BF = CF (1) và ^BFD = ^FCE

Mặt khác ^AMC = ^DFC (do DF // AE)

^AMC = ^MEC + ^FCE = 60⁰ + ^FCE và ^DFC = ^BFC + ^BFD

Do đó ^BFC = 60⁰ (2)

Từ (1) và 2) suy ra \(\Delta\)FBC đều (đpcm)

Vẽ hình bình hành DAFH.

Gọi N là giao điểm của hai đường chéo DF và AH, M là giao điểm của EH và BC

Ta có NA = NH, ND = NF

Ta đặt ^ADH = ^AFH = \(\alpha\)thì ^BDH = ^HFC = \(\alpha\)+ 60⁰

^DAF = 180⁰ -\(\alpha\)

^BAC = 360⁰ - ^BAD - ^CAF - ^DAF = 360⁰ - 60⁰ - 60⁰ - (180⁰ - \(\alpha\)) = \(\alpha\)+ 60⁰

\(\Delta\)BDH và \(\Delta\)HFC có: BD = HF (= AD); ^BDH = ^HFC (cmt); DH = FC (= AF)

Do đó \(\Delta\)BDH = \(\Delta\)HFC (c.g.c) => HB = HC                                                           (1)

Chứng minh tương tự, ta được \(\Delta\)BAC = \(\Delta\)HFC (c.g.c) => BC = HC                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra HB = HC = BC

Tứ giác BHCE có các cặp cạnh đối bằng nhau  (cùng bằng BC) nên là hình bình hành => MB = MC và MH = ME

Xét ∆AEH có AM và AN là hai đường trung tuyến nên giao điểm G của chúng là trọng tâm => EG = 2/₃EN và AG = 2/₃AM.Xét ∆ABC có AM là đường trung tuyến mà AG = 2/₃AM nên G là trọng tâm của ∆ABCXét ∆EDF có EN là đường trung tuyến mà EG = 2/₃EN nên G là trọng tâm của∆EDF

Vậy ∆ABC và ∆EDF có cùng trọng tâm G

Dòng 12 là EN chứ ko pk AN nha, đánh nhầm

Tự vẽ hình nha.

Vì ADKE là hình bình hành. 

=> ^ADK = ^ AEK

=> ^ ADK + 60^o = ^ AEK + 60^o

=> ^BDK = ^KCE

Xét tam giác BDK =  tam giác KEC ( c.g.c )

=> BK = KC ( 1 )

Có ^DAE + ^ BAC + ^ DAB + ^ EAC = 360^o

=> ^ DAE + ^BAC + 120^o = 360^o

=> ^BAC = 240^o - ^DAE

mà ^DAE = 180^o - ^ADK

=> ^BAC = 60^o  + ^ADK = ^BDA

=> tam giác BAC = tam giác BDK ( c g.c )

=> BC = BK ( 2 )

Từ ( 1 ), ( 2 )

=> BC = BK = CK

=> tam giác KBC đều