a)\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=n\left(2n-3\right)-n\left(2n+2\right)=n\left(2n-3-2n-2\right)\)

\(=n\left(-5\right)=-5n\) chia hết cho 5 với n thuộc Z

b)\(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=\left(n^2+3n-4\right)-\left(n^2-3n-4\right)\)

\(=n^2+3n-4-n^2+3n+4=6n\) chia hết cho 6 với n thuộc Z

n không thể thuộc Z được vì nếu n thuộc Z thì 5^n sẽ là phân số khi n âm

vậy n thuôc N 

Ta có : \(5=1\) ( mod 4 ) 

 => \(5^n=1\)( mod 4 ) 

\(\Rightarrow5^n-1=0\)( mod 4 )

\(\Rightarrow5^n-1\)chia hết cho 4

\(\leftrightarrowđpcm\)

Ta có : 5 mũ n có cơ số là 5 

=> 5 mũ n tận cùng là 25 (với n >1)

+, n = 0

=> 5 mũ n - 1 = 1 - 1 = 0 chia hết cho 4

+, n =1

=> 5 mũ n - 1 = 5 - 1 = 4 chia hết cho 4

+, n > 1

=> 5 mũ n - 1 =  số có tận cùng là 25 - 1 = số có tận cùng là 24 chia hết cho 4 ( vì 24 chia hết cho 4)

=> đpcm

Võ Đông Anh Tuấn làm theo cách đồng dư, mình sẽ làm cách lớp 6

5⁰-1=0 chia hết cho 4

5¹-1=4 chia hết cho 4

Với n>1 thì 5ⁿ luôn tận cùng là 25 =>5ⁿ-1 tận cùng là 24, luôn chia hết cho 4

=>đpcm

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15