\(A=3+3^2+3^3+...+3^{100}\)

\(\Leftrightarrow3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^{101}\)

\(\Leftrightarrow3A-A=\left(3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{101}\right)-\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow2A=3^{101}-3\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{3^{101}-3}{2}< 3^{100}-1\)

\(\Leftrightarrow A< B\)

a. tính A = 3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100

3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^100

3A-A=(3^2+3^3+3^4+....+3^101)-(3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100)=3^101-3=3^100

mà B=3^100-1 => A<B

\(A=1+4+4^2+...+4^{99}\)

\(\Leftrightarrow4A=4+4^2+4^3+...+4^{100}\)

\(\Leftrightarrow3A=4^{100}-1\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4^{100}-1}{3}< \frac{4^{100}}{3}\)

hay A<B (đpcm)

Lời giải:

$A=1+4+4^2+4^3+...+4^{99}$

$4A=4+4^2+4^3+4^4+....+4^{100}$

$\Rightarrow 4A-A=4^{100}-1$

$\Rightarrow 3A=4^{100}-1=B-1< B$
$\Rightarrow A< \frac{B}{3}$

A=1+4+4²+4³+.......+4⁹⁹                                                                                                                                                                                     4A=4+4²+4³+4⁴+.....+4¹⁰⁰                                                                                                                                                                                 4A-A=4+4²+4³+4⁴+.....+4¹⁰⁰ -1-4-4²-4³-.......-4⁹⁹                                                                                                                                                                                            3A=4¹⁰⁰-1 => A=(4¹⁰⁰-1)/3                                                                                                                                                                                 Vì 4¹⁰⁰>4¹⁰⁰-1 nên (4¹⁰⁰-1)/3 < 4¹⁰⁰/3 HAY A<B/3(ĐPCM)                                                                                                                             

Bài làm:

Ta có: \(A=1+4+4^2+4^3+...+4^{99}\)

\(\Rightarrow4A=4+4^2+4^3+4^4+...+4^{100}\)

\(\Rightarrow4A-A=\left(4+4^2+...+4^{100}\right)-\left(1+4+...+4^{99}\right)\)

\(\Leftrightarrow3A=4^{100}-1\)

\(\Rightarrow A=\frac{4^{100}-1}{3}=\frac{4^{100}}{3}-\frac{1}{3}< \frac{4^{100}}{3}=\frac{B}{3}\)

\(\Leftrightarrow A< \frac{B}{3}\)

A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁹

4A = 4( 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁹ )

     = 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4¹⁰⁰

4A - A = 3A

           = ( 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4¹⁰⁰ ) - ( 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁹ )

           =  4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4¹⁰⁰ - 1 - 4 - 4² - 4³ - ... - 4⁹⁹

           = 4¹⁰⁰ - 1 

3A = 4¹⁰⁰ - 1 => A = \(\frac{4^{100}-1}{3}\)

\(\frac{B}{3}=\frac{4^{100}}{3}\)

\(4^{100}-1< 4^{100}\Rightarrow\frac{4^{100}-1}{3}< \frac{4^{100}}{3}\)

\(\Rightarrow A< \frac{B}{3}\left(đpcm\right)\)

\(4A=4+4^2+...+4^{100}\) 

\(\Rightarrow4A-A=3A=4^{100}-1\)

\(\Rightarrow A=\frac{4^{100}-1}{3}< \frac{4^{100}}{3}\Rightarrow A< \frac{B}{3}\)

ta có 

\(4A=4+4^2+4^3+..+4^{99}+4^{100}=\left(1+4+4^2+..+4^{99}\right)+4^{100}-1\)

hay 

\(4A=A+4^{100}-1\Leftrightarrow A=\frac{4^{100}-1}{3}< \frac{4^{100}}{3}=\frac{B}{3}\)

vậy ta có điều phải chứng minh

A = 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ... + 1/4⁹⁹

⇒ 4A = 1 + 1/4 + 1/4² + ... + 1/4⁹⁸

⇒ 3A = 4A - A

= (1 + 1/4 + 1/4² + ... + 1/4⁹⁸) - (1/4 + 1/4² + 1/4³ + ... + 1/4⁹⁹)

= 1 - 1/4⁹⁹

⇒ A = (1 - 1/4⁹⁹)/3

Do 1 - 1/4⁹⁹ < 1

⇒ (1 - 1/4⁹⁹)/3 < 1/3

Vậy A < 1/3