Cho hình chóp đều SABC có AB=2a, khoảng cách từ A đến mp(SBC) là 3 a 2 . Tính thể tích hình chóp SABC
A. a 3 3
B. a 3 3 2
C. a 3 3 6
D. a 3 3 3
Cho hình chóp đều S.ABC có AB=2a, khoảng cách từ A đến mp(SBC) là 3 a 2 . Tính thể tích hình chóp S.ABC
A. 3 a 3
B. 3 a 3 2
C. 3 a 3 6
D. 3 a 3 3
Đáp án là D
Gọi M là trung điểm của BC và G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC) và G là trọng tâm tam giác ABC
Ta có:
hay (SBC) ⊥ (SAM) theo giao tuyến SM
Trong (SAM) kẻ
Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a nên
Đặt SG=x Ta có:
Xét tam giác SGM vuông tại M ta có:
Xét tam giác SAM ta có
Do đó: SG=a.
Thể tích khối chóp S.ABC là
Hình chóp SABC có ∆ ASB đều cạnh a, (SBC) ⊥ (ABC). Tính khoảng cách h từ S xuống mp (ABC).
A. h = a 2
B. h = a 2 2
C. h = a 3 2
D. h = a 6 3
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=a\(\sqrt{3}\) , SAB=SCB=90\(^o\) và khoảng cách từ A đến (SBC) bằng a\(\sqrt{2}\) . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC theo a
Lời giải:
Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $S$ xuống mặt phẳng $(ABC)$
Ta có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp AB\\ SA\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow AB\perp (SHA)\rightarrow AB\perp HA\)
Tương tự \(BC\perp HC\). Kết hợp với \(ABC\) vuông cân tại $B$ suy ra \(ABCH\) là hình vuông
Có \(AH\parallel (SBC)\Rightarrow d(A,(SBC))=d(H,(SBC))\)
Kẻ \(HT\perp SC\). Có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp BC\\ HC\perp BC\end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp (SHC)\Rightarrow BC\perp HT\)
Do đó \(HT\perp (SBC)\Rightarrow d(H,(SBC))=HT=\sqrt{\frac{SH^2.HC^2}{SH^2+HC^2}}=\sqrt{\frac{SH^2.AB^2}{SH^2+AB^2}}=\sqrt{2}\Rightarrow SH=\sqrt{6}a\)
Từ trung điểm $O$ của $AC$ dựng trục vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Trên trục đó ta lấy điểm $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
\(IS^2=IA^2=IH^2\Leftrightarrow (\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HS})^2=IO^2+OH^2\)
\(\Leftrightarrow HS^2+2\overrightarrow{IO}.\overrightarrow{HS}=0\)
Do \(\overrightarrow {SH}\parallel \overrightarrow {IO}\Rightarrow \overrightarrow {IO}=k\overrightarrow{SH}\). Thay vào PT trên có $k=\frac{1}{2}$
\(\Rightarrow IO=\frac{\sqrt{6}a}{2}\Rightarrow IA=\sqrt{IO^2+AO^2}=\sqrt{3}a\)
\(\Rightarrow S_{\text{mặt cầu}}=4\pi R^2=12a^2\pi\)
Hình chóp SABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC đều có cạnh 2a, SA = a 3 . Tính khoảng cách h từ điểm A tới mặt phẳng (SBC).
A. h = a 2 3
B. h = a 3 2
C. h = a
D. h = a 3 2
cho hình chóp đều SABC có SA=2a, AB=a. Gọi M là trung điểm BC. Tính theo a thế tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SB.
Do SABC là hình chóp đều=>hình chiếu của S lên (ABC) là tâm I củađường tròn ngoại tiếp tam giác ABC=> SI vuông góc với (ABC)
xét tam giác SAI vuông tạị I , biết SA, AI=2/3 AM(là đường cao tgiacs ABC)=> tính được SI
V=1/3. SI.S(ABC)=(căn 11)/12
b) trong (ABC) kẻ hình bình hành AINB
d(AM,SB)=d(AI,SB)=d(I,SBN)( do AI song song AN)=> đưa về tính khoang cách trong tứ diện vuông cơ bản
Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông tại A, AB=AC=a. I là trung điểm của SC.Hình chiếu vuông góc của S lên mp (ABC) là trung điểm H của BC , mp (SAB) tạo với đáy một góc 60. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ I tới mp (SAB) theo a
chứng minh được AH=BH -> SA= SB _> tam giác SAB cân ở S
gọi M là trung điểm của AB -> SM vuông góc với AB -> góc giữa mp (SAB) và mp (ABC) là góc SMH -> góc SMH = 60 độ
-> tìm được SH -> tìm được thể tích
tìm diên tích tam giác SAB -> khoảng cách từ C đến mp (SAB)
Vì I là trung điểm của SC nên khoảng cách từ I đến mp (SAB) bằng một nửa khoảng cách từ C đến mp (SAB)
Hình chóp SABC có ∆ SAB và ∆ SBC là các tam giác đều cạnh a; ∆ SAC là tam giác vuông. Tính thể tích V của hình chóp SABC
A. V = a 3 6
B. V = a 3 3 12
C. V = a 3 2 12
D. V = a 3 6 24
cho hình chóp sabc có đáy abc là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của đỉnh s trên mặt đáy abc trùng với trung điểm h của trung tuyến ad. tính thể tích khối chóp sabc biết góc giữ sh và mp sbc là 30 độ.
cho hình chóp sabcd có đáy là tam giác vuông cân tại a,ab=a√2,sa=sb=sc,góc giữa sa và mặt phẳng(abc )=60 độ.tính thể tích sabc và khoảng cách từ a đến mặt phẳng (sbc)