Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm cạnh SC. Xét α là mặt phẳng thay đổi qua AI và cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Tổng giá trị nhỏ nhất là lớn nhất của biểu thức T = S M S B + S N S D bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm cạnh SC. Xét (α) là mặt phẳng thay đổi qua AI và cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Tổng giá trị nhỏ nhất là lớn nhất của biểu thức T = S M S B + S N S D bằng
A. 17 6
B. 13 6
C. 7 3
D. 5 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và S.AMKN. Tỉ số V ' V có giá trị nhỏ nhất bằng
A. 1 5 .
B. 3 8 .
C. 1 3 .
D. 1 2 .
Đáp án C
Giả sử S D → = m . S M → ; S B → = n . S N → .
S A → + S C → = S B → + S D →
Do A; M; N; K đồng phẳng nên m + n = 3 .
V S . A K M V S . A B C = 1 2 .1. 1 m = 1 2 m ⇒ V S . A K M V = 1 4 m
Tương tự ta có V S . A K N V = 1 4 n ⇒ V ' V = 1 4 . m + n m n = 3 4 m n ≥ 3 m + n 2 = 3 3 2 = 1 3 .
Dấu bằng xảy ra khi m = n = 1,5 .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và S.AMKN. Tỉ số V ' V có giá trị nhỏ nhất bằng
A. 1 5
B. 3 8
C. 1 3
D. 1 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V 1 , V thứ tự là thể tích của khối chóp S.AMKN và khối chóp S.ABCD. Giá trị nhỏ nhất của tỷ số V 1 V bằng
A. 1/3
B. 3/8
C. 1/2
D. 2/3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho IS = 2IC. Mặt phẳng (P) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V ’ , V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMIN và S.ABCD. Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích V ' V
A. 4 5
B. 5 54
C. 8 15
D. 5 24
Đáp án C
Bài toán sử dụng bổ đề sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P) bất kì cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A’, B’, C’, D’ với tỉ số
S A ' S A = x ; S B ' S B = y ; S C ' S C = z ; S D ' S D = t thì ta có đẳng thức
1 x + 1 z = 1 y + 1 t và tỉ số
V S . A ' B ' C ' D ' V S . A B C D = x y z t 4 1 x + 1 y + 1 z + 1 t
Áp dụng vào bài toán
đặt u = S M S B , v = S N S D ta có
1 u + 1 v = S A S A ' + S C S I = 1 1 + 1 2 3 = 5 2 ≥ 2 u v ≥ 16 25 ⇒ V ' V = u v .1. 2 3 4 1 u + 1 v + 1 1 + 1 2 3 = 5 u v 6 ≥ 8 15
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho I S = 2 I C . Mặt phẳng (P)chứa cạnh AI cắt cạnh SB;SD lần lượt tại M;N. Gọi V ' , V lần lượt là thể tích khối chóp S . A M I N và S . A B C D . Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích V V '
A. 4/5
B. 5/54
C. 8/15
D. 5/24
Đáp án C
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD
Gọi H = S K ∩ A I qua H kẻ d / / B D cắt SB;SD lần lượt tại M;N
Xét tam giác SAC có
I S I C . A C O C . O H S H = 1 ⇒ O H S C = 1 4 ⇒ S H S C = 4 5
Mà M N / / B D → S M S B = S N S D = S H S O = 4 5
Ta có V S . A M I V S . A C D = S M S B . S I S C = 2 3 . S M S B ⇒ V S . A M I V S . A B C D = 1 3 . S M S B
Và V S . A N I V S . A C D = S N S D . S I S C = 2 3 . S D S D ⇒ V S . A N I V S . A B C D = 1 3 . S N S D
Suy ra V ' V = 1 3 S M S B + S N S D = 1 3 . 4 5 + 4 5 = 8 15
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho IS=2IC Mặt phẳng (P) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V’, V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMIN và S.ABCD. Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích V ' V
A. 4 5
B. 5 54
C. 8 15
D. 5 24
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho IS=2IC. Mặt phẳng (P) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V', V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMIN và S.ABCD. Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích V V '
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC. Mặt phẳng AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V 1 , V theo thứ tự là thể tích khối tứ diện S.AMKN và hình chóp S.ABCD. Giá trị nhỏ nhất của tỷ số V 1 V bằng:
A. 1 2
B. 2 3
C. 1 3
D. 3 8