Đáp án C

Cách giải:

Xét các số x = a; y = b+1; z = c+2; t = d+3. Vì 1≤a≤b≤c≤d≤9 => 1≤x<y<z<t≤12 (*)

Và mỗi bộ 4 số (x;y;z;t) được chọn từ tập hợp {1;2;3;…;12} ta đều thu được bộ số thỏa mãn

(*). Do đó, số cách chọn 4 số trong 12 số là  C 12 4 = 495 số suy ra n(X) = 495

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 9.10.10.10 = 9000

Vậy xác suất cần tính là 

Đáp án C

Cách giải:

Xét các số x = a; y = b + 1; z = c + 2; t = d + 3. Vì 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9 => 1 ≤ x < y < z < t ≤ 12 (*)

Và mỗi bộ 4 số (x;y;z;t) được chọn từ tập hợp 1 ; 2 ; . . . . ; 12  ta đều thu được bộ số thỏa mãn  (*). Do đó, số cách chọn 4 số trong 12 số là C 12 4   =   495  số suy ra  n ( X )   =   495

Số phần tử của không gian mẫu là   n ( Ω )   =   9 . 10 . 10 . 10 = 9000

Vậy xác suất cần tính là

Chọn D

Chọn số tự nhiên có 4 chữ số bất kỳ có: (cách).

Gọi A là biến cố: “Số được chọn có dạng  a b c d ¯ , trong đó 1 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 9” . (*)

Cách 1: Dùng tổ hợp

Nhận xét rằng với 2 số tự nhiên bất kỳ ta có: 

Do đó nếu đặt:

Từ giả thuyết  ta suy ra: 

Với mỗi tập con gồm 4 phần tử đôi một khác nhau được lấy ra từ {1,2,....,12}ta đều có được duy nhất một bộ số thoả mãn (**) và do đó tương ứng ta có duy nhất một bộ số (a,b,c,d) thoả mãn (*). Số cách chọn tập con thoả tính chất trên là tổ hợp chập 4 của 12 phần tử, do đó: 

Vậy 

Cách 2: Dùng tổ hợp lặp

Chọn số tự nhiên có 4 chữ số bất kỳ có: (cách).

Mỗi tập con có 4 phần tử được lấy từ tập {1,2,...,9}(trong đó mỗi phần tử có thể được chọn lặp lại nhiều lần) ta xác định được một thứ tự không giảm duy nhất và theo thứ tự đó ta có được một số tự nhiên có dạng   a b c d ¯ (trong đó ). Số tập con thoả tính chất trên là số tổ hợp lặp chập 4 của 9 phần tử

Do đó theo công thức tổ hợp lặp ta có:

 Vậy 

Chọn B

Số phần tử của tập hợp E là 

Vì 

Mà  chia hết cho 3 nên khi lấy ra 6 chữ số thỏa điều kiện ta phải loại  ra một số chia hết cho 3. Ta có 3 trường hợp sau:

1) Trường hợp 1:

Loại bỏ số 0, khi đó a + b = c + d = e + f = 7

Bước 1: Chia ra làm 3 cặp số có tổng bằng 7 là : (1;6), (2;5), (3;4) có 1 cách chia.

Bước 2: Chọn a có 6 cách; chọn b có 1 cách; chọn c có 4 cách; chọn d có 1 cách; chọn e có 2 cách; chọn f có 1 cách: có 6.1.4.1.2.1 = 48 cách.

Trường hợp này có 48 số.

2) Trường hợp 2:

Loại bỏ số 3, khi đó a + b = c + d = e + f = 6

Bước 1: Chia ra làm 3 cặp số có tổng bằng 6 là : (0;6), (1;5), (2;4) có 1 cách chia.

Bước 2: Chọn a có 5 cách (vì có số 0); chọn b có 1 cách; chọn c có 4 cách; chọn d  có 1 cách; chọn e có 2 cách; chọn f có 1 cách: có 5.1.4.1.2.1 = 40 cách.

Trường hợp này có 40 số.

3) Trường hợp 3:

Loại bỏ số 6, khi đó a + b = c + d = e + f = 5. Tương tự như trường hợp 2, có 40 số.

Vậy trong tập hợp E có tất cả 48 +  40 + 40 = 128 số có dạng a b c d e f ¯  sao cho  a + b = c + d = e + f

Xác suất cần tìm là: 

Chọn A

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên trong các số tự nhiên có bốn chữ số”

Ta có 

Biến cố A: “Số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau”.

Gọi số có 4 chữ số  a b c d ¯   là trong đó có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau, a ≠ 0

TH1: Có đúng hai chữ số 8 đứng liền nhau.

+) Số có dạng  88 c d ¯ : có 9.9 = 81 số.

+) Số có dạng  a 88 d ¯  hoặc  a b 88 ¯  : mỗi dạng có 8.9 = 72 số.

TH2: Có đúng ba chữ số 8 trong đó có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau.

+) Số có dạng  a 888 ¯ : có 8 số.

+) Số có dạng  8 b 88 ¯  hoặc  88 c 8 ¯ hoặc  888 d ¯ : Mỗi dạng có 9 số.

TH3: Cả 4 chữ số đều là chữ số 8: Có 1 số là số 8888

Do đó n(A) = 81 + 2.72 + 8 + 3.9 + 1 = 261

Xác suất cần tìm 

Ta có: \(\left|K\right|=9.10^3=9000\)

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 4.

\(A=\left\{\overline{abcd}\inℕ:\left(a+b+c+d\right)⋮4\right\}\)

Xét \(b+c+d=4k+r\left(0\le r\le3\right)\)

Nếu \(r\in\left\{0;1;2\right\}\) thì mỗi giá trị của r sẽ có 2 giá trị của a sao cho \(\left(a+b+c+d\right)⋮4\)( đó là a=4-r, a=8-r) 

Nếu \(r=3\) thì mỗi giá trị của r sẽ có 3 giá trị của a sao cho \(\left(a+b+c+d\right)⋮4\) ( đó là a=1, a=5, a=9)

Gọi \(B=\left\{\overline{bcd}\inℕ:0\le b,c,d\le9;b+c+d=4k+r;0\le r\le2\right\}\)

\(C=\left\{\overline{bcd}\inℕ:0\le b,c,d\le9;b+c+d=4k+3\right\}\)

Khi đó ta có: \(\left|A\right|=2 \left|B\right|+3\left|C\right|=2\left(\left|B\right|+\left|C\right|\right)+\left|C\right|=2.10^3+\left|C\right|\)

Xét tập hợp C với c+d =4m+n .

Nếu \(n\in\left\{0;1\right\}\) thì mỗi giá trị của n sẽ có 2 giá trị của b sao cho b+c+d=4k+3

Nếu \(n\in\left\{2;3\right\}\) thì mỗi giá trị của n sẽ có 3 giá trị của b sao cho b+c+d=4k+3

Gọi \(D=\left\{\overline{cd}\inℕ:0\le c,d\le9;c+d=4m+n;0\le n\le1\right\}\)

\(E=\left\{\overline{c\text{d}}\inℕ:0\le c,d\le9;c+d=4m+n;2\le n\le3\right\}\)

Khi đó ta có: \(\left|C\right|=2\left|D\right|+3\left|E\right|=2\left(\left|D\right|+\left|E\right|\right)+\left|E\right|=2.10^2+\left|E\right|\), với \(\left|E\right|=25+24=49\)

\(\Rightarrow\left|A\right|=2.10^3+2.10^2+49=2249\)

Gọi biến cố X : '' Số được chọn có tổng các chữ số là bội của 4''. Khi đó xác suất của biến cố là : \(P\left(X\right)=\frac{2249}{9000}\)