Hình trụ nội tiếp trong mặt cầu có bán kính đường tròn đáy bằng nửa bán kính mặt cầu. Tính tỷ số V T V C ( V T , V C là thể tích hình trụ và hình cầu).
Khi cắt mặt cầu S(O;R) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S(O;R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R=1,tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S(O;R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Khi cắt mặt cầu S(O;R) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S(O;R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R=1,tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S(O;R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Khi cắt mặt cầu S (O, R) bởi một mặt kính đi qua tâm O, ta được hai nửa mặt cầu giống nhau. Giao tuyến của mặt kính đó với mặt cầu gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S (O, R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R = 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S (O, R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Khi cắt mặt cầu S (O, R) bởi một mặt kính đi qua tâm O, ta được hai nửa mặt cầu giống nhau. Giao tuyến của mặt kính đó với mặt cầu gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S (O, R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R = 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S (O, R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
A. r = 3 2 ; h = 6 2
B. r = 6 2 ; h = 3 2
C. r = 6 3 ; h = 3 3
D. r = 3 3 ; h = 6 3
Chọn C.
Phương pháp: Dựa vào dữ kiện bài toán lập hàm số và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Khi cắt mặt cầu S (O; R) bởi một mặt kính đi qua tâm O, ta được hai nửa mặt cầu giống nhau. Giao tuyến của mặt kính đó với mặt cầu gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S (O; R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R = 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S(O; R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
Chọn đáp án C
Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O’ là hình chiếu của O xuống mặt đáy (O’). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.
Thể tích khối trụ là
Một khối trụ có trục là một đường kính của mặt cầu (S) bán kính R, các đường tròn đáy đều thuộc mặt cầu, biết hình trụ đó có bán kính đường tròn đáy và đường sinh bằng nhau. Tính tỉ số thể tích V 1 của hình trụ đó với V 2 là thể tích mặt cầu.
Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C) Hình trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S) có một đáy là đường tròn (C)và có chiều cao là h(h>0) Tính h để khối trụ (T) có giá trị lớn nhất
Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S) có một đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h ( h > 0 ) . Tính h để khối trụ (T) có giá trị lớn nhất
A. h = 2 R 3
B. h = 2 R 3 3
C. h = R 3
D. h = R 3 3
Đáp án B
Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ nội tiếp mặt cầu lần lượt là h, r
Ta có tâm mặt cầu là trung tâm của đường nối 2 tâm các đường tròn đáy của hình trụ
Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối trụ là R 2 = r 2 + h 2 4
Thể tích khối trụ là V = πr 2 h = π 4 4 R 2 - h 2 . h
Theo bất đẳng thức Cosi cho 3 số nguyên dương, ta có
4 R 2 - h 2 4 R 2 - h 2 2 h 2 ≤ 4 R 2 - h 2 + 4 R 2 - h 2 + 2 h 2 3 27
Nên 4 R 2 - h 2 . h 2 ≤ 256 R 6 27 ⇒ V ≤ π 4 4 R 2 - h 2 h ≤ 4 π 3 9 R 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 R 2 - h 2 = 2 h 2 ⇔ h = 2 R 3 3 .
Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một nón tròn xoay (N) có góc ở đỉnh bằng 60 ° . Tính tỉ số thể tích của hình trụ (T) và hình nón (N).