Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với cả 3 mặt phẳng tọa độ và có tâm thuộc (P): y - z - 4 = 0
Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với cả 3 mặt phẳng tọa độ và có tâm thuộc mặt phẳng P : x + y - 6 = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng P : 2 x − y − z − 2 = 0 ; Q : x − 2 y + z + 2 = 0 ; R : x + y − 2 z + 2 = 0 , T : x + y + z = 0 . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc (T) và tiếp xúc với P , Q , R ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho các mặt phẳng P : 2 x − y − z − 2 = 0 . Q : x − 2 y + z + 2 = 0 ; R : x + y − 2 z + 2 = 0, T : x + y + z = 0 . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc (T) và tiếp xúc với P , Q , R ?
A.1
B.2
C.3
D.4
Đáp án D
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I a ; b ; c ∈ T : a + b + c = 0
Theo bài ra d I ; P = d I ; Q = d I ; R
⇔ 2 a − b − c − 2 6 = a − 2 b + c + 2 6 = a + b − 2 c + 2 6
⇒ 3 a − 2 = 3 b − 2 3 a − 2 = 3 c − 2 a + b + c = 0 ⇒ a = b 3 a + 3 b = 4 a = c 3 a + 3 c = 4
M N // B A '
TH1: a + b + c = 0 a = b a = c ⇒ I 0 ; 0 ; 0
Tương tự cho các trường hợp còn lại
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu:
( S 1 ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 2 y + z = 0 ;
( S 2 ) ; x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - y - z = 0
cắt nhau theo một đường tròn (C) nằm trong mặt phẳng (P). Cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3). Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA?
A. 4 Mặt cầu.
B. 2 Mặt cầu.
C. 3 Mặt cầu.
D. 1 Mặt cầu.
Chọn A
Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) (giao của 2 mặt cầu đã cho) có phương trình là: 6x + 3y + 2z = 0
Mặt phẳng (P) có phương trình là:
Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C. Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA. Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;-1;1), C(-1;-1;1). Gọi S 1 là mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; S 2 và S 3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Trong các mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt cầu S 1 , S 2 , S 3 có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (Oyz)?
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Đáp án A
Phương pháp giải:
Xét vị trí tương đối của mặt phẳng, gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính toán dựa vào điều kiện tiếp xúc
Lời giải:
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): ax+by+cz+d=0
suy ra mp(P)//BC hoặc đi qua trung điểm của BC.
Mà B C → = ( - 4 ; 0 ; 0 ) và mp vuông góc với mp (Oyz) => (P) //BC
Với (P) //BC => a = 0 => by+cz+d=0
suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1 ; 2 ; 1 , B 3 ; − 1 ; 1 , C − 1 ; − 1 ; 1 . Gọi S 1 là mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; S 2 và S 3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Trong các mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt cầu S 1 , S 2 , S 3 có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (Oyz)?
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Xét tám mặt cầu có bán kính bằng 1 và các mặt cầu này đều tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ. Tìm bán kính mặt cầu (S) mà cả tám mặt cầu kể trên đều tiếp xúc trong với (S)
Cho mặt cầu S : x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 1 . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với (S) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?
