Cho tam giác ABC ở miền trong tam giác có điểm M sao cho các đường thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh AB, BC, CA tại các điểm C1, A1, B1 thỏa: \(\frac{AM}{A_1M}+\frac{BM}{B_1M}+\frac{CM}{C_1M}=6\). Chứng minh M là trọng tâm tam giác ABC
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC, M trong tam giác; các đường thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt các cạnh BC, AC,AB tại A1;B1;C1
Xác định vị trí M để tổng \(\sqrt{\frac{AM}{A_1M}}+\sqrt{\frac{BM}{B_1M}}+\sqrt{\frac{CM}{C_1M}}\) đạt GTNN
Ta có: \(\sqrt{\frac{AM}{A_1M}}+\sqrt{\frac{BM}{B_1M}}+\sqrt{\frac{CM}{C_1M}}=\sqrt{\frac{S_2+S_3}{S_1}}+\sqrt{\frac{S_1+S_3}{S_2}}+\sqrt{\frac{S_1+S_2}{S_3}}\)
\(\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_1}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_2}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right)^2}{2S_3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_1}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_2}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_3}}\right)\frac{1}{2}\cdot6=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi S1 =S2=S3 <=> M là trọng tâm \(\Delta ABC\)
cho điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC. Các tia AM,BM,CM cắt các cạnh tương ứng tại các điểm A1, B1, C1. Chứng minh rằng \(\frac{AM}{A_1M}+\frac{BM}{B_1M}+\frac{CM}{C_1M}\ge6\)
Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý trong tam giác này. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại A', B', C'.
Chứng minh rằng tổng \(\frac{AM}{AA'}+\frac{BM}{BB'}+\frac{CM}{CC'}\) bằng hằng số.
M là 1 điểm trong tam giác ABC. Các tia MA, MC, MB tương ứng ở A1, C1, B1.
CMR:
a) \(\frac{AM}{A_1M}+\frac{BM}{B_1M}+\frac{CM}{C_1M}\ge6\)
b) \(\frac{AM}{A_1M}.\frac{BM}{B_1M}.\frac{CM}{C_1M}\ge8\)
c) Với điều kiện nào thì các BĐT trên thành đẳng thức?
Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD có M là điểm bất kì trên cạnh AD. Tia BM cắt dường thẳng CD tại N. từ M kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại E.Chứng minh rằng: frac{1}{ME}frac{1}{CD}+frac{1}{DN}Bài 2: Cho M là điểm bất kì trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt các cạnh BC, AC, AB tại A, B, Cchứng minh rằng: frac{AM}{AA}+frac{BM}{BB}+frac{CM}{CC}2
Đọc tiếp
Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD có M là điểm bất kì trên cạnh AD. Tia BM cắt dường thẳng CD tại N. từ M kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại E.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{ME}=\frac{1}{CD}+\frac{1}{DN}\)
Bài 2: Cho M là điểm bất kì trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt các cạnh BC, AC, AB tại A', B', C'
chứng minh rằng: \(\frac{AM}{AA'}+\frac{BM}{BB'}+\frac{CM}{CC'}=2\)
Cho tam giác ABC với điểm M ở bên trong tam giác. Gọi I,J,K theo thứ tự là giao điểm của các tia AM, BM, CM với các cạnh BC, CA, AB. Đường thẳng qua M và song song với BC cắt IK, IJ tại các điểm tương ứng E, F. Chứng minh rằng ME=MF.
JK trong tim tui òi
cho tam giác ABC, một điểm M tùy ý trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, Ac, AB tại D,E, F. Chứng minh rằng: \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BM}{BE}+\dfrac{CM}{CF}\) là hằng số
Cho \(\Delta\)ABC, M nằm trong tam giác. AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác lần lượt tại 3 điểm E, F, D. Chứng minh rằng \(\frac{AM}{EM}+\frac{BM}{FM}+\frac{CM}{DM}\ge6\)
Cho tam giác ABC, trực tâm H. M là điểm nằm trong tam giác. AM cắt BC tại A', BM cắt BC tại B', CM cắt AB tại C'.
CMR: \(\frac{AM}{MA'}+\frac{BM}{MB'}+\frac{CM}{MC'}\ge6\)
Đặt \(S_{AMB}=a;S_{BMC}=b;S_{CMA}=c\)
Ta có \(\frac{AM}{MA'}+\frac{BM}{MB'}+\frac{MC}{MC'}=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)=\(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ge6\)(cô-si)
Đúng 0
Bình luận (0)