Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
CR7 victorious
Xem chi tiết
Hoàng Lê Bảo Ngọc
1 tháng 10 2016 lúc 22:26

\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(ab+bc+ac\right)\right]\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)

Hoàng Hạ Nhi
Xem chi tiết
Dung Đặng Phương
Xem chi tiết
Phùng Minh Quân
25 tháng 1 2020 lúc 21:05

1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)

\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa
Nyatmax
25 tháng 1 2020 lúc 22:23

2.

Vỉ \(ab+bc+ca+abc=4\)thi luon ton tai \(a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)

\(\Rightarrow VT=2\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le2\Sigma_{cyc}\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}}{2}=3\)

Khách vãng lai đã xóa
Nyatmax
26 tháng 1 2020 lúc 8:21

Cho o dong 2 la x,y,z nhe,ghi nham

Khách vãng lai đã xóa
Sofia Nàng
Xem chi tiết
Nguyễn Linh Chi
30 tháng 10 2019 lúc 19:14

Câu hỏi của Khoa Nguyễn Đăng - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Khách vãng lai đã xóa
Minh Duy Cù
Xem chi tiết
Y
6 tháng 5 2019 lúc 21:40

+ a + b + c = 0 \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

+ \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(=4\left(ab+bc+ca\right)^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2\left(ab^2c+a^2bc+abc^2\right)\right]\)

\(=2\left(ab+bc+ca\right)^2+4\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)\)

\(=2\left(ab+bc+ca\right)^2+4abc\left(a+b+c\right)\)

\(=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

Khoa Nguyễn Đăng
Xem chi tiết
Dương Thiên Tuệ
11 tháng 12 2017 lúc 20:36

a+b+c=0\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=\frac{-a^2-b^2-c^2}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)^2=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)(1)

Lại có \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)

                                           \(=a^4+b^4+c^4+2\left(ab+bc+ac\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\)

                                             \(=a^4+b^4+c^4+2\left(ab+bc+ac\right)^2\)(do a+b+c=0)

Thay vào (1)

\(2\left(ab+bc+ca\right)^2=\frac{a^4+b^4+c^4}{2}+\left(ab+cb+ac\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=\frac{a^4+b^4+c^4}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Agami Raito
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 6 2019 lúc 16:19

Ta chứng minh được

\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow P\le\sum\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+1}\)

Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

Ta lại chứng minh được:

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)

\(\Rightarrow P\le\sum\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\sum\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\frac{z}{x+y+z}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Đây là bài thi vào 10 của Thanh Hóa thì phải

Vũ Ngọc Diệp
Xem chi tiết
Bạn Của Nguyễn Liêu Hóa
8 tháng 3 2019 lúc 23:05

Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c

Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9

                               \(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)

           Mà a+b=6-c (cmt)

                                \(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)

                                \(\Rightarrow\)ab=9-6c+c2

Ta có: (b-a)2\(\ge\)\(\forall\)b, c

  \(\Rightarrow\)b2+a2-2ab\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)(b+a)2-4ab\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)(a+b)2\(\ge\)4ab

Mà a+b=6-c (cmt)

         ab= 9-6c+c2 (cmt)

  \(\Rightarrow\)(6-c)2\(\ge\)4(9-6c+c2)

  \(\Rightarrow\)36+c2-12c\(\ge\)36-24c+4c2

  \(\Rightarrow\)36+c2-12c-36+24c-4c2\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)-3c2+12c\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)3c2-12c\(\le\)0

  \(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0

  \(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)

*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)

*

Thanh Tu Nguyen
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Trí
27 tháng 7 2023 lúc 0:56

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(2\right)\) (vì \(a+b+c=0\))

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4+c^4\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)