Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)

=> \(\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{b}{c}\right)^3=\left(\frac{c}{d}\right)^3=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)

=> \(\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)

=> \(\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)

=> \(\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\) (Vì \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\))

=> \(\frac{a}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)(đpcm)

a) Gọi số đo của các goác lần lượt là x,y,z

Theo đề bài ta có: \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\) và \(x+y+z=180\)

Áp dụng tc của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{180}{9}=20\)

=>\(\begin{cases}x=40\\y=60\\z=80\end{cases}\)

vì các góc của tam giác tỉ lệ vs 2,3,4 nen ế gọi các góc lần lượt là a,b,c thì a/2=b/3=c/4 vì a,b,c là 3 góc của tam giác nên a+b+c=180

áp dụng gì đó ko nhớ có

a/2=b/3=c/4=(a+b+c)/(2+3+4)=180/9=20

=> a/2=20 nên a=40cm

b/3=20 nên b=60cm

c/4=20 nên c=80cm

vậy 3 cạnh là 40cm,60cm và 80cm

cái này nghe quen quen nhưng ko nhớ lắm

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhua ta có :

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)

Mà \(\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\frac{a}{d}\)(đpcm)

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}.\frac{a+b+c}{b+c+d}.\frac{a+b+c}{b+c+d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)

                                                                                     đpcm

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)

Ta có: \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3=\left(\frac{bk+b}{dk+d}\right)^3=\left[\frac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}\right]^3=\left(\frac{b}{d}\right)^3=\frac{b^3}{d^3}\left(1\right)\)

\(\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}=\frac{\left(bk\right)^3+b^3}{\left(dk\right)^3+d^3}=\frac{b^3k^3+b^3}{d^3k^3+d^3}=\frac{b^3\left(k^3+1\right)}{d^3\left(k^3+1\right)}=\frac{b^3}{d^3}\left(2\right)\)

Từ (1!) và (2) => \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^3=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Thay vào đẳng thức ta có :

\(\frac{bk-b}{bk}=\frac{dk-d}{dk}\)

\(\frac{b\left(k-1\right)}{bk}=\frac{d\left(k-1\right)}{dk}\)

\(\frac{k-1}{k}=\frac{k-1}{k}\left(đpcm\right)\)

Vì \(a,b,c,d\ne0\) \(\Rightarrow\frac{a}{b}\) \(=\frac{c}{d}\)  \(=k\left(k\ne0\right)\)

 \(\Rightarrow a=kb,c=kd\) 

\(\Rightarrow\frac{a-b}{a}\) \(=\frac{kb-b}{kb}\) \(=\frac{b\left(k-1\right)}{kb}\) \(=\frac{k-1}{k}\) \(\left(1\right)\)

     \(\frac{c-d}{c}\) \(=\frac{kd-d}{kd}\) \(=\frac{d\left(k-1\right)}{kd}\) \(=\frac{k-1}{k}\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\frac{a-b}{a}\) \(=\frac{c-d}{c}\)

Bài 1:

Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)

Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.

Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!

Bài 2a làm bên h rồi nên chụp lại thôi!

 (cần thì ib t gửi link cho)

Chú thích cho you hiểu: Ở bài 1:

Chúng ta biết rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{ab}{a+b}\) thế thôi!

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Áp dụng tính chát dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

Vậy:   \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\left(đpcm\right)\)

#

Mình chỉ làm bài 1a, và bài 3 thôi nhé,còn lại là bạn tự làm nhé

Bài 1:

a, Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow\left[\frac{a}{b}\right]^2=\left[\frac{c}{d}\right]^2=\left[\frac{a+c}{b+d}\right]^2\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\)

Bài 3 : Sửa đề : Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)

CM : a = b = c

Cách 1 : Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

vì \(a+b+c\ne0\)

\(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b;\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\)

Do đó : \(a=b=c\).

Cách 2 : Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=m\), ta có : \(a=bm,b=cm,c=am\)

Do đó : \(a=bm=m(mc)=m\left[m(ma)\right]\)

\(\Rightarrow a=m^3a\Rightarrow m^3=1(a\ne0)\Rightarrow m=1\)

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)

Cách 3 : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow1=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow\frac{a}{b}=1\)

Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)

aaps dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{c+d+b}\)

\(\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\frac{a.b.c}{b.c.d}=\frac{a}{d}\)

=>đpcm

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{b+c+d}.\frac{a+b+c}{b+c+d}.\frac{a+b+c}{b+c+d}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\frac{a}{d}\)

Vậy \(\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\frac{a}{d}\)