Ở tất cả các dạng bài như thế này em chỉ cần ghi nhớ công thức:

\(d(u(x))=u'(x)dx\)

Câu 1)

Ta có \(I_1=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin x}\cos xdx=\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin x}d(\sin x)\)

Đặt \(\sin x=t\Rightarrow I_1=\int ^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}e^tdt=\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right|e^t=e-e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Câu 2)

\(I_2=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}e^{2\cos x+1}\sin xdx=\frac{-1}{2}\int ^\frac{\pi}{2}_{\frac{\pi}{4}}e^{2\cos x+1}d(2\cos x+1)\)

Đặt \(2\cos x+1=t\Rightarrow I_2=\frac{-1}{2}\int ^{1}_{1+\sqrt{2}}e^tdt\)

\(=\frac{-1}{2}.\left.\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt{2}\end{matrix}\right|e^t=\frac{-1}{2}(e-e^{1+\sqrt{2}})\)

Câu 3:

Có \(I_3=\int ^{e}_{1}\frac{e^{2\ln x+1}}{x}dx=\int ^{e}_{1}e^{2\ln x+1}d(\ln x)\)

\(=\frac{1}{2}\int ^{e}_{1}e^{2\ln x+1}d(2\ln x+1)\)

Đặt \(2\ln x+1=t\Rightarrow I_3=\frac{1}{2}\int ^{3}_{1}e^tdt=\frac{1}{2}.\left.\begin{matrix} 3\\ 1\end{matrix}\right|e^t=\frac{1}{2}(e^3-e)\)

Câu 4:

\(I_4=\int ^{1}_{0}xe^{x^2+2}dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}e^{x^2+2}d(x^2+2)\)

Đặt \(x^2+2=t\Rightarrow I_4=\frac{1}{2}\int ^{3}_{2}e^tdt=\frac{1}{2}.\left.\begin{matrix} 3\\ 2\end{matrix}\right|e^t=\frac{1}{2}(e^3-e^2)\)

1. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=\dfrac{dx}{sin^2x}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cotx\end{matrix}\right.\)

Do đó I= \(-x.cotx+\int cotxdx\)= \(-xcotx+ln\left|sinx\right|\)

2. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=\dfrac{dx}{e^x}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-e^{-x}\end{matrix}\right.\)

Do đó I= \(-\left(x+1\right)e^{-x}+\int e^{-x}dx\)=\(-\left(x+1\right)e^{-x}-e^{-x}\)

=\(-\left(x+2\right)e^{-x}\)

3. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=sinx.cosx.dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\dv=\dfrac{1}{4}sin2x.d\left(2x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{-cos2x}{8}\end{matrix}\right.\), do đó I= \(\dfrac{-x.cos2x}{8}+\int\dfrac{cos2x}{8}dx\)

=\(\dfrac{-x.cos2x}{8}+\int\dfrac{cos2x}{16}d\left(2x\right)\)= \(\dfrac{-x.cos2x}{8}+\dfrac{sin2x}{32}\)

Đáp án A

Đáp án A

Phương pháp: Công thức từng phần:  

Cách giải:

a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}\)

\(=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C\) (*)

Để tính: \(\int x^2\ln x\text{dx}\) ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)

Suy ra:

\(\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3\)

Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:

(*) \(=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C\)

\(=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C\)

b) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C\)

c) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+e^x\\v'=e^{2x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+e^x\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int\left(x+e^x\right)e^{2x}\text{dx}=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\int\left(1+e^x\right)e^{2x}\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\int e^{2x}\text{dx}-\dfrac{1}{2}\int e^{3x}\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}e^{2x}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}e^{3x}\)

\(=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+\dfrac{1}{3}e^{3x}\)

*Đặt tên các biểu thức theo thứ tự lần lượt là A,B,C,D,E,F *

Câu 1)

Ta có: \(d(\cos x)=(\cos x)'d(x)=-\sin xdx\)

\(\Rightarrow -d(\cos x)=\sin xdx\)

\(\Rightarrow A=\int \sqrt{3\cos x+2}\sin xdx=-\int \sqrt{3\cos x+2}d(\cos x)\)

Đặt \(\sqrt{3\cos x+2}=t\Rightarrow \cos x=\frac{t^2-2}{3}\)

\(\Rightarrow A=-\int td\left(\frac{t^2-2}{3}\right)=-\int t.\frac{2}{3}tdt=-\frac{2}{3}\int t^2dt=-\frac{2}{3}.\frac{t^3}{3}+c\)

\(=-\frac{2}{9}t^3+c=\frac{-2}{9}\sqrt{(3\cos x+2)^3}+c\)

Câu 2:

\(B=\int (1+\sin^3x)\cos xdx=\int \cos xdx+\int \sin ^3xcos xdx\)

\(=\int \cos xdx+\int \sin ^3xd(\sin x)\)

\(=\sin x+\frac{\sin ^4x}{4}+c\)

Câu 3:

\(C=\int \frac{e^x}{\sqrt{e^x-5}}dx=\int \frac{d(e^x)}{\sqrt{e^x-5}}\)

Đặt \(\sqrt{e^x-5}=t\Rightarrow e^x=t^2+5\)

Khi đó: \(C=\int \frac{d(t^2+5)}{t}=\int \frac{2tdt}{t}=\int 2dt=2t+c=2\sqrt{e^x-5}+c\)

Câu 4:

\(D=\int (x\sin x+2)dx=\int x\sin xdx+\int 2dx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u= x\\ dv= \sin xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\int \sin xdx=-\cos x \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int x\sin xdx= -x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+c\)

\(\int 2dx=2x+c\)

Do đó: \(D=-x\cos x+\sin x+2x+c\)

Câu 5:

\(E=\int 2x\cos xdx=2\int x\cos xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\int \cos xdx=\sin x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c\)

\(\Rightarrow E=2x\sin x+2\cos x+c\)

Câu 6:

\(\int 3^2\ln xdx=9\int \ln xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int \ln xdx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+c\)

\(\Rightarrow F=9x\ln x-9x+c\)

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt u= ln(1+x)

dv= xdx

=> ,

Ta có: ∫xln(1+x)dx =

=

b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:

Đặt u= (x²+2x -1) và dv=e^xdx

Suy ra du = (2x+2)dx, v = e^x

. Khi đó:

∫(x²+2x - 1)e^xdx = (x²+2x - 1)e^xdx - ∫(2x+2)e^xdx

Đặt : u=2x+2; dv=e^xdx

=> du = 2dx ;v=e^x

Khi đó:∫(2x+2)e^xdx = (2x+2)e^x - 2∫e^xdx = e^x(2x+2) – 2e^x+C

Vậy

∫(x²+2x+1)e^xdx = e^x(x²-1) + C

Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x²-1)e^xdx. Đặt u = x²-1 và dv=e^xdx.

Đáp số : e^x(x²-1) + C

c) Đáp số:

HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx

d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.

HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx