Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp là 124 3 π . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Cho hình chóp S.ABCcó mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho A H B ⏜ = 150 ° , B H C ⏜ = 120 ° , C H A ⏜ = 90 ° Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S . H A B , S . H B C , S . H C A là 124 3 π . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. V S . A B C = 9 2
B. V S . A B C = 4 3
C. V S . A B C = 4 a 3
D. V S . A B C = 4
Đáp án B
Gọi r 1 , r 2 , r 3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp Δ H A B , Δ H B C , Δ H C A
Theo định lí Sin, ta có A B sin A H B ⏜ = 2 r 1 ⇒ r 1 = 2 2. sin 150 ° = 2 ; tương tự r 2 = 2 3 3 r 3 = 1
Gọi R 1 , R 2 , R 3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S . H A B , S . H B C , S . H C A
Đặt S H = 2 x ⇒ R 1 = r 1 2 + S H 2 4 = x 2 + 4 ; R 2 = x 2 + 3 4 và R 3 = x 2 + 1
Suy ra ∑ S = S 1 + S 2 + S 3 = 4 π R 1 2 + 4 π R 2 2 + 4 π R 3 2 = 4 π 3 x 2 + 19 3 = 124 π 3 ⇒ x = 2 3 3
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V = 1 3 . S H . S Δ A B C = 1 3 . 4 3 3 . 2 2 3 4 = 4 3
Chú ý: “Cho hình chóp S . A B C có SA vuông góc với đáy và R Δ A B C là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C → R = R Δ A B C 2 + S A 2 4 là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC”
Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu S lên mặt phẳng A B C là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho A H B ^ = 150 ° , B H C ^ = 120 ° , C H A ^ = 90 ° . Biết tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S . H A B ; S . H B C ; S . H C A là 124 π 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC
A. V S . A B C = 4
B. V S . A B C = 4 3
C. V S . A B C = 9 2
D. V S . A B C = 8 3
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết ASB ^ = 120 ° .
A. V = 5 15 π 54 .
B. V = 4 3 π 27 .
C. V = 5 π 3 .
D. V = 13 78 π 27 .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết A S B ^ = 120 0 .
A. V = 5 15 π 54 .
B. V = 4 3 π 27 .
C. V = 5 π 3 .
D. V = 13 78 π 27 .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết A S B ^ = 120 0
Đáp án A
SM = M B tan 60 0 = 3 6
IG = x ⇒ JM = IG ⇒ SI = 1 12 + ( 3 6 + x ) 2 , IA = 1 3 + x 2
SI = IA ⇒ x 2 + 1 4 = ( x 2 + 3 3 x + 1 2 ) ⇒ x = 1 2 3 ⇒ R = 5 12
V = 4 3 πR 3 = 5 15 π 54
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết A S B ^ = 120 0
A. V = 5 15 π 54
B. V = 4 3 π 27
C. V = 5 π 3
D. V = 13 78 π 27
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Biết . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
A. 3 2
B. 3 4
C. 3 6
D. 3 12
Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy là tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết SB = a và góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy bằng 60o. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
A. πa 2 3
B. 4 πa 2 3
C. 2 πa 2
D. Đáp án khác
Đáp án B
Từ giả thiết ta có SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SA=SB=a. Trong mặt phẳng (SAO), trung trực của cạnh SA cắt SO tại I thì I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khi đó ta tính được:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Biết V S . A B H V S . A B C = 16 9 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
A. 3 2
B. 3 4
C. 3 6
D. 3 12
Gọi O là trung điểm của AB
Ta có
Trong tam giác vuông SOC có
Ta có
Vậy
Chọn C.