a,b,c>0 , a+b+c=1,cmr (1/a -1)(1/b -1)(1/b -1) (=>) 8
Cho a> 0, b>0, c>0, a +b +c=1. CMR: ( 1/a -1 ) ( 1/b -1 ) ( 1/c -1 ) > =8
\(\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)=\left(\dfrac{1-a}{a}\right)\left(\dfrac{1-b}{b}\right)\left(\dfrac{1-c}{c}\right)\)
\(=\left(\dfrac{b+c}{a}\right)\left(\dfrac{a+c}{b}\right)\left(\dfrac{a+b}{c}\right)\ge\dfrac{2\sqrt{bc}}{a}.\dfrac{2\sqrt{ac}}{b}.\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}=8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 = 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+4b+1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 +1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 +2009/ab+bc+ac >=670
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 = 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+4b+1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 +1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 +2009/ab+bc+ac >=670
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 = 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+4b+1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 +1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 +2009/ab+bc+ac >=670
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 + 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+ 4b + 1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 + 1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 + 2009/ab+bc+ac >=670
Choa,b,c>0 cmr:
a^8+b^8+c^8>=(abc)^3.(1/a +1/b +1/c)
Áp dụng bất đẳng thức a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ac ta có :
a^8 + b^8 + c^8 > (ab)^4 + (bc)^4 + (ca)^4 > (ab)^2.(bc)^2 + (bc)^2.(ca)^2 + (ca)^2.
(ab)^2
> ab.bc.bc.ca + bc.ca.ca.ab + ca.ab.ab.bc = a^2.b^2.c^2(bc + ab + ac)
\(\Rightarrow\) (a^8 + b^8 + c^8)/(a^3.b^3.c^3) > a^2.b^2.c^2(ab + bc + ca)/(a^3.b^3.c^3) = (ab + bc
+ ca)/abc = 1/a + 1/b + 1/c
\(\Rightarrow\) a^8 + b^8 + c^8 > (abc)^3 + (1/a + 1/b + 1c) (đpcm)
Ta có : \(a^8+b^8+c^8\ge\left(abc\right)^3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (1)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) (có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Được : \(a^8+b^8+c^8=\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2+\left(c^4\right)^2\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)(2)
Lại có : \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=\left(a^2b^2\right)^2+\left(b^2c^2\right)^2+\left(c^2a^2\right)^2\ge a^2b^4c^2+b^2c^4a^2+c^2a^4b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\) (3)
Từ (2) và (3) ta có : \(a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\)
Vậy (1) được chứng minh.
Cho 3 số dương a,b,c thỏa a+b+c= 3 cmr:
√a +√b+ √c >=a+b+c.
Cho a,b,c>0: a+b+c=1. Chứng minh:
(1+a).(1+b).(1+c)>=8(1-a).(1-b).(1-c)
Bài 1. Mình nghĩ đề bài của bạn nhầm ở chỗ dấu "\(\ge\)" , bạn sửa lại thành "\(\le\)" nhé ^^
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(9=3\left(a+b+c\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le9\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le a+b+c\) (vì a+b+c = 3)
Bài 2.
Để chứng minh bất đẳng thức trên ta biến đổi : \(a+b+c=1\Leftrightarrow a+1=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\)
Tương tự : \(b+1=\left(1-a\right)+\left(1-c\right)\) ; \(c+1=\left(1-a\right)+\left(1-b\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có : \(a+1=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\ge2\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\left(1\right)\)
Tương tự : \(b+1\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-c\right)}\left(2\right)\) ; \(c+1\ge2\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\left(3\right)\)
Nhân (1), (2) , (3) theo vế : \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\sqrt{\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2\left(1-c\right)^2}=8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\) (đpcm)
1) a,b,m>0
CMR : (1+a/b)m+(1+b/a)m>=2m+1
2) cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=0
CMR : 8a +8b +8c>=2a+2b+2c
1) a,b,m>0
CMR : (1+a/b)m+(1+b/a)m>=2m+1
2) cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=0
CMR : 8a +8b +8c>=2a+2b+2c