Rút gọn biểu thức T = a 2 . ( a - 2 . b 3 ) . b - 1 ( a - 1 . b ) 3 . a - 5 . b - 2 với a, b là hai số thực dương
A. T = a 4 . b 6
B. T = a 6 . b 6
C. T = a 4 . b 4
D. T = a 6 . b 4
cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=5.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4a+4b+\(\dfrac{c^3}{ab+b}\)là
Áp dụng bđt AM - GM:
\(P=3a+3b-1+\left[\left(a+1\right)+b+\dfrac{c^3}{b\left(a+1\right)}\right]\ge3a+3b-1+3c=3.5-1=14\).
Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2; c = 2.
Vậy Min P = 14 khi a = 1; b = 2; c = 2.
Cho a là số thực dương. Viết biểu thức P = 5 3 . 1 a 3 dưới dạng lũy thừa cơ số a ta được kết quả
A. P = a 1 6
B. P = a 5 6
C. P = a 7 6
D. P = a 19 6
Đáp án A
P = 5 3 . 1 a 3 = a 5 3 − 3 2 = a 1 6
cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x^3/(1+y)+y^3/(1+x)
\(B=\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{1+x}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x^3+y^3\right)}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{x+y+2}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-1\right)}{x+y+2}\)
Áp dụng BĐT cô si với các số dương x2 ; y2 ; x4 ; y4 ta được :
\(B\ge\frac{2x^2y^2+\left(x+y\right)\left(2xy-1\right)}{x+y+2}=\frac{2+\left(x+y\right)}{x+y+2}=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=1/(a+2b+3)+1/(b+2c+3)+1/(c+2a+3)
Answer:
Có \(a+2b+3\)
\(=\left(a+b\right)+\left(b+1\right)+2\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{b}+2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+2b+3}\le\frac{1}{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{b+2c+3}\le\frac{1}{2\left(\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1\right)}\)\(;\frac{1}{c+2c+3}\le\frac{1}{2\left(\sqrt{ac}+\sqrt{a}+1\right)}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}[\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{b}+1}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{a}+1}]\)
Bởi vì abc = 1 nên \(\sqrt{abc}=1\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}[\frac{\sqrt{c}}{1+\sqrt{bc}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}+\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}]\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}{2\sqrt{bc}+\sqrt{c}+1}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a(2a - 1) + b(2b - 1) = 2ab
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = \(\dfrac{a^3+2020}{b}+\dfrac{b^3+2020}{a}\)
\(2ab+a+b=2a^2+2b^2\ge2ab+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)
\(F=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{ab}+2020\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2ab}+\dfrac{8080}{a+b}\ge a^2+b^2+\dfrac{8080}{a+b}\)
\(F\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{8080}{a+b}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{8072}{a+b}\)
\(F\ge3\sqrt[3]{\dfrac{16\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}}+\dfrac{8072}{2}=...\)
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a(2a - 1) + b(2b - 1) = 2ab
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = \(\dfrac{a^3+2020}{b}+\dfrac{b^3+2020}{a}\)
Cho a là một số thực dương. Viết biểu thức P= a 3 5 a 3 3 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.
A. P = a 1 13
B. P = a 2 5
C. P = a - 1 13
D. P = a 19 15
Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh biểu thức
\(\frac{a^5}{a^2-ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2-bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2-ca+a^2}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và khi đó ta được:
\(\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2+ca+a^2}\ge\)
\(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chỉ ra được:
\(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Hay: \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)
Dễ thấy: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right);b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right);c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
