a) 

A=\(x^2+y^2=\left(x^2+2xy+y^2\right)-2xy=\left(x+y\right)^2-2xy=a^2-2b\)

\(B=x^3+y^3=\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)-3x^2y-3xy^2=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=a^3-3ab\)

\(C=x^5+y^5=\left(x^5+y^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4\right)-5x^4y-10x^3y^2-10x^2y^3-5xy^4\)

\(=\left(x+y\right)^5-5xy\left(x^3+2xy^2+2x^2y+y^3\right)=\left(x+y\right)^5-5xy\left(x^3+3xy^2+3x^2y+y^3-xy^2-x^2y\right)\)

\(=\left(x+y\right)^5-5xy\left(\left(x+y\right)^3-xy\left(x+y\right)\right)=a^5-5b\left(a^3-ab\right)\)

giup minh cau b o tren nha

1) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\(A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3+y^2z+yz^2+z^3+z^2x+x^2z}\)

\(=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(x^2+y^2+z^2\right)+y\left(x^2+y^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{3}=\dfrac{2012}{3}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2012}{3}\)

2)

Áp dụng bđt AM-GM:

\(\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2xy}=x-\dfrac{y}{2}\)

Chứng minh tương tự và cộng theo vế:

\(S\ge x-\dfrac{y}{2}+y-\dfrac{z}{2}+z-\dfrac{x}{2}=\dfrac{2015}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2015}{3}\)

Mk vừa nghĩ ra 1 cách xem thử nhé :v

AM-GM:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy\le\dfrac{x^2+y^2}{2}\\yz\le\dfrac{y^2+z^2}{2}\\xz\le\dfrac{x^2+z^2}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\ge\dfrac{x^3}{x^2+\dfrac{x^2+y^2}{2}+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+\dfrac{y^2+z^2}{2}+z^2}+\dfrac{z^3}{z^2+\dfrac{x^2+z^2}{2}+x^2}\)

\(=\dfrac{x^3}{\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{y^3}{\dfrac{3}{2}\left(y^2+z^2\right)}+\dfrac{z^3}{\dfrac{3}{2}\left(x^2+z^2\right)}\)

Rút mẫu ra rồi làm như bài 2 thôi :>

Phần bài 2 bn ghi đề rõ hơn đc ko

Câu 1/

Đặt cái cần tìm là \(P=x+y+z\)

Ta có \(5x^2+2xyz+4y^2+3z^2=60\)

\(\Rightarrow3z^2< 60\)

\(\Rightarrow0< z< 2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20-z^2>0\\9-2z>0\\P-z>0\end{matrix}\right.\)

Thay \(x=P-y-z\) vào điều kiện ban đầu ta được.

\(5\left(P-y-z\right)^2+2yz\left(P-y-z\right)+4y^2+3z^2=60\)

\(\Leftrightarrow\left(9-2z\right)y^2-2\left(P-z\right)\left(5-z\right)y+5\left(P-z\right)^2+3\left(z^2-20\right)=0\)

Để PT theo nghiệm y có nghiệm thì

\(\Delta'=\left(P-z\right)^2\left(5-z\right)^2-\left(9-2z\right)\left[5\left(P-z\right)^2+3\left(z^2-20\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(z^2-20\right)\left[\left(P-z\right)^2+6z-27\right]\ge0\)

\(\Rightarrow\left(P-z\right)^2+6z-27\le0\)

\(\Rightarrow P\le z+\sqrt{27-6z}\le6\) (cái này chỉ cần chuyển z qua VP rồi bình phương 2 vế là thấy liền nhé.

Vậy \(MaxP=6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)

Câu 3/ Dễ thấy a, b, c không thể đồng thời bằng 0 được.

Ta chứng minh: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left(3a^2+3b^2+3c^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+a^2+b^2+c^2\right]\ge0\) (đúng)

Từ đây ta suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge1\)

Dấu = xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1,0,0;0,1,0;0,0,1\right)\)

PS: Vì không chứng minh được \(x^2+y^2+z^2\ge1\) nên mình chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge1\) nhé.

Câu 2/

Trước tiên ta có:

\(\sqrt{1+a^3}=\sqrt{\left(1+a\right)\left(1-a+a^2\right)}\le\dfrac{1+a+1-a+a^2}{2}=1+\dfrac{a^2}{2}\)

Quay lại bài toán ta có:

\(A=\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{2y}{x}\right)^3}}+\sqrt{\dfrac{4}{1+\left(\dfrac{x+y}{y}\right)^3}}\)

\(\ge\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2y}{x}\right)^2}+\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x+y}{y}\right)^2}\)

\(=\dfrac{x^2}{x^2+2y^2}+\dfrac{4y^2}{x^2+3y^2+2xy}\ge\dfrac{x^2}{x^2+2y^2}+\dfrac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)

Dấu = xảy ra khi x = y

2

a

\(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow x+y=-z\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=\left(-z\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+3x^2y+3xy^2=-z^3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xy\left(x+y\right)=3xyz\)

b

Đặt \(a-b=x;b-c=y;c-a=z\Rightarrow x+y+z=0\)

Ta có bài toán mới:Cho \(x+y+z=0\).Phân tích đa thức thành nhân tử:\(x^3+y^3+z^3\)

Áp dụng kết quả câu a ta được:

\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)

Bài 2:

\(M=x^2-2xy+y^2=\left(x-y\right)^2=\left(-3\right)^2=9\)

\(N=x^2+y^2=\left(x-y\right)^2+2xy=9+2.10=29\)

\(P=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=\left(x-y\right)^3=\left(-3\right)^3=-27\)

\(Q=x^3-y^3=\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)=\left(-3\right)^3+3.10.\left(-3\right)=-117\)

Bài 1:

a)  \(A=x^2+2xy+y^2=\left(x+y\right)^2=\left(-1\right)^2=1\)

b)  \(B=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(-1\right)^2-2.\left(-12\right)=25\)

c)  \(C=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=\left(x+y\right)^3=\left(-1\right)^3=-1\)

d)  \(D=x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(-1\right)^3-3.\left(-12\right).\left(-1\right)=-37\)

Bài 1:

a: =>x^3-x-6x-6=0

=>x(x-1)(x+1)-6(x+1)=0

=>(x+1)(x-3)(x+2)=0

hay \(x\in\left\{-1;3;-2\right\}\)

b: \(\Leftrightarrow x^2-6x+9+y^2+6y+9=0\)

=>(x-3)^2+(y+3)^2=0

=>x=3 và y=-3