Đặt \(A=a^5+b^5+c^5\)

\(A-\left(a+b+c\right)=a^5-a+b^5-b+c^5-c\)

Ta có: \(B=a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Nếu \(a\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow B\) chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết chi 5 \(\Rightarrow\)B chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 \(\Rightarrow a^2+1\) chia 5 dư \(\left(\pm2\right)^2+1=5\Rightarrow a^2+1⋮5\Rightarrow B⋮5\)

Vậy \(B=a^5-a⋮5\) với mọi a nguyên

Hoàn toàn tương tự, \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 5 với mọi b; c

\(\Rightarrow A-\left(a+b+c\right)⋮5\Rightarrow A⋮5\) (đpcm)

(Có thể ngắn gọn hơn là \(a^5\equiv a\left(mod5\right)\Rightarrow a^5-a⋮5\) ; \(\forall a\in Z\))

\(b)\)

\(4n-3⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow3\left(4n-3\right)⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow12n-9⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow\left(12n-8\right)-1⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow4\left(3n-2\right)-1⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow1⋮3n-2\)

\(\Leftrightarrow3n-2\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

\(\Rightarrow3n\in\left\{1;3\right\}\)

Mà: \(3n⋮3\)

\(\Leftrightarrow3n=3\)

\(\Leftrightarrow n=1\)

Ta có: x là số nguyên và x chia hết cho 5

=> \(ax^3\)chia hết cho 5

\(bx^2\)chia hết cho 5

\(cx\)chia hết cho 5

\(d\)chia hết cho 5

Suy ra cả a,b,c,d đều chia hết cho 5

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d⋮5\forall x\in Z\)

+ Với x=0 ta có \(f\left(0\right)=d⋮5\left(1\right)\)

+ Với x=1 ta có \(f\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\left(2\right)\)

+ Với x=-1 ta có \(f\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\left(3\right)\)

+ Với x=2 ta có \(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\left(4\right)\)

+ Với x=-2 ta có\(f\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d⋮5\left(5\right)\)

Từ (1),(2),(3),(4) và (5) suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c⋮5\\-a+b-c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow2b⋮5\)

\(\Rightarrow b⋮5\) (vì 2 và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau) \(\left(6\right)\)

Từ (1),(2),(4) và (6) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\a+c⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8\left(a+c\right)⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8a+8c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(8a+2c\right)-\left(8a+8c\right)⋮5\Rightarrow6c⋮5\)

\(\Rightarrow c⋮5\) (vì ƯCLN(6,5)=1)

\(\Rightarrow a⋮5\) (vì \(a+c⋮5\) )

Vậy \(a,b,c,d⋮5\)